1. Mostre que ccc2 x+1 & se & x <= 1 -x+4 & se & x>1 é contínua em x=1, mas não é derivável neste ponto.

Passo 1

Temos a função por partes
g(x)=2x+1,&x<=1,-x+4,&x>1
O objetivo é mostrar que ela é contínua em x=1 mas não derivável nesse ponto. Vamos usar a definição de continuidade (limites laterais e valor da função) e a definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Vamos verificar a continuidade em x=1. Primeiro, o valor da função é
g(1)=2cdot1+1=3
Em seguida, o limite pela esquerda é
limxto1^-g(x)=limxto1^-(2x+1)=2cdot1+1=3,
e o limite pela direita é
limxto1^+g(x)=limxto1^+(-x+4)=-1+4=3
Como ambos os limites laterais coincidem com g(1)=3, g é contínua em x=1.

Passo 3

Agora vamos checar a derivabilidade pelo limite do quociente incremental. Para h→0⁻ (lateral esquerda):
g(1+h)-g(1)h =2(1+h)+1-3h =2+2h+1-3h =2hh=2
Para h→0⁺ (lateral direita):
g(1+h)-g(1)h =-(1+h)+4-3h =-1-h+4-3h =-hh=-1
Como os limites laterais são 2 e -1, diferentes entre si, a derivada em x=1 não existe.

Passo 4

Portanto, concluímos que g é contínua em x=1 mas não é derivável nesse ponto.

Resposta

A função g é contínua em x=1, mas não é derivável em x=1.

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