- Mostre que
é contínua em
, mas não é derivável neste ponto.
Passo 1
Temos a função por partes
O objetivo é mostrar que ela é contínua em x=1 mas não derivável nesse ponto. Vamos usar a definição de continuidade (limites laterais e valor da função) e a definição de derivada (limite do quociente incremental).
Passo 2
Vamos verificar a continuidade em x=1. Primeiro, o valor da função é
Em seguida, o limite pela esquerda é
e o limite pela direita é
Como ambos os limites laterais coincidem com g(1)=3, g é contínua em x=1.
Passo 3
Agora vamos checar a derivabilidade pelo limite do quociente incremental. Para h→0⁻ (lateral esquerda):
Para h→0⁺ (lateral direita):
Como os limites laterais são 2 e -1, diferentes entre si, a derivada em x=1 não existe.
Passo 4
Portanto, concluímos que g é contínua em x=1 mas não é derivável nesse ponto.
Resposta
A função g é contínua em x=1, mas não é derivável em x=1.