7 Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}, \beta_{2}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de R^{3}
a) Ache as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta},[I]_{\beta_{2}}^{\beta},[I]_{\beta_{3}}^{\beta}
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Bases ordenadas (todas com vetores em \mathbb{R}^2; o enunciado escreveu \mathbb{R}^3 mas os vetores são de duas coordenadas, então tratamos como \mathbb{R}^2):
    • \beta=\{(1,0),(0,1)\}.
    • \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}.
    • \beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
    • \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}.
  • O enunciado pede:
    (a) Encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta},[I]_{\beta_{2}}^{\beta},[I]_{\beta_{3}}^{\beta}.
    (b) Calcular as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base \beta,\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}.

Passo 2

Entendendo o que é uma matriz de mudança de base (aula rápida e prática):
  • Para duas bases \mathcal{B} e \mathcal{C} de \mathbb{R}^2, a matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor na base \mathcal{B} para coordenadas na base \mathcal{C}. Ou seja, para qualquer vetor x,
[x]_{\mathcal{C}} = [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \,[x]_{\mathcal{B}}.
  • Como montar [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} na prática: escreva cada vetor da base \mathcal{B} como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}. As coordenadas desses coeficientes formam as colunas de [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}, na ordem dos vetores de \mathcal{B}.
  • Em particular:
    • [I]_{\beta}^{\beta_{1}}: colunas = coordenadas dos vetores de \beta (isto é, (1,0) e (0,1)) escritas na base \beta_1.
    • [I]_{\beta_{1}}^{\beta}: colunas = vetores de \beta_1 escritos nas coordenadas padrão (ou seja, as próprias coordenadas dadas); assim [I]_{\beta_{1}}^{\beta} é a matriz cujas colunas são (-1,1) e (1,1).
    • Para [I]_{\beta_{2}}^{\beta} e [I]_{\beta_{3}}^{\beta} a mesma ideia: colunas são os vetores das bases \beta_2,\beta_3 nas coordenadas padrão.

Passo 3

Calcular [I]_{\beta}^{\beta_{1}} (colunas: coordenadas de (1,0) e (0,1) na base \beta_{1}).
  • Seja b_1' = (-1,1) e b_2'=(1,1) os vetores da base \beta_1.
  • Para (1,0) procuramos escalares a,b tais que
a\,b_1' + b\,b_2' = (1,0).
Escrevendo as componentes:
-a + b = 1, \qquad a + b = 0.
Resolver o sistema: somando as duas equações obtém-se 2b=1 então b=\tfrac{1}{2}. Então a = -b = -\tfrac{1}{2}.
  • Para (0,1) procuramos c,d tais que
c\,b_1' + d\,b_2' = (0,1),
isto é
-c + d = 0, \qquad c + d = 1.
Somando as equações: 2d=1 então d=\tfrac{1}{2}. Logo c = \tfrac{1}{2}.
  • Assim as colunas de [I]_{\beta}^{\beta_{1}} (primeira coluna para (1,0), segunda para (0,1)) são \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}. Logo
[I]_{\beta}^{\beta_{1}} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular [I]_{\beta_{1}}^{\beta}.
  • Como explicado, [I]_{\beta_{1}}^{\beta} tem colunas iguais aos vetores de \beta_1 escritos na base padrão. Então
[I]_{\beta_{1}}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Observação útil: esta matriz é de fato a inversa de [I]_{\beta}^{\beta_{1}}. Se quiser verificar, pode multiplicar as duas e obter a identidade 2\times2.]

Passo 5

Calcular [I]_{\beta_{2}}^{\beta}.
  • A base \beta_{2} tem vetores u_1=(\sqrt{3},1) e u_2=(\sqrt{3},-1). Assim [I]_{\beta_{2}}^{\beta} tem essas colunas (nas coordenadas padrão):
[I]_{\beta_{2}}^{\beta} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & \sqrt{3} \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular [I]_{\beta_{3}}^{\beta}.
  • A base \beta_{3} tem vetores (2,0) e (0,2), logo
[I]_{\beta_{3}}^{\beta} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[4pt] 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora vamos achar as coordenadas de v=(3,-2) em cada base. Primeiro, em \beta (base padrão) é imediato:
  • Em \beta: [v]_{\beta} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Coordenadas de v em \beta_{1}: resolver v = \alpha\,b_1' + \beta\,b_2' com b_1'=(-1,1),\,b_2'=(1,1).
  • Sistema:
-\alpha + \beta = 3, \qquad \alpha + \beta = -2.
Somando as duas equações: 2\beta = 1 então \beta=\tfrac{1}{2}. Logo \alpha = -2 - \beta = -2 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{5}{2}.
  • Assim
[v]_{\beta_{1}} = \begin{pmatrix} -\tfrac{5}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
(Verificação alternativa rápida: pode multiplicar [I]_{\beta_{1}}^{\beta}\,[v]_{\beta_{1}} e conferir que dá (3,-2).)]

Passo 9

Coordenadas de v em \beta_{2}: resolver v = a\,u_1 + b\,u_2 com u_1=(\sqrt{3},1),\,u_2=(\sqrt{3},-1).
  • Sistema componente a componente:
\sqrt{3}\,a + \sqrt{3}\,b = 3, \qquad a - b = -2.
Da primeira equação: \sqrt{3}(a+b)=3 então a+b=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Da segunda: a-b=-2.
  • Somando as duas equações: 2a = \sqrt{3}-2 então
a = \frac{\sqrt{3}-2}{2}.
  • Então b = \sqrt{3} - a = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}-2}{2} = \frac{\sqrt{3}+2}{2}.
  • Logo
[v]_{\beta_{2}} = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}-2}{2} \\[6pt] \dfrac{\sqrt{3}+2}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 10

Coordenadas de v em \beta_{3}: escrever v = s\,(2,0) + t\,(0,2).
  • Isso dá 2s = 3 e 2t = -2. Assim s=\tfrac{3}{2} e t=-1.
  • Portanto
[v]_{\beta_{3}} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{2} \\[4pt] -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\beta}^{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
[I]_{\beta_{1}}^{\beta}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
[I]_{\beta_{2}}^{\beta}=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}
[I]_{\beta_{3}}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-2\end{pmatrix}
[v]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}
[v]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}-2}{2}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}\end{pmatrix}
[v]_{\beta_{3}}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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