7 Sejam \beta=\{(1,0),(0,1)\}, \beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}, \beta_{2}=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} e \beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\} bases ordenadas de R^{3}
a) Ache as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta},[I]_{\beta_{2}}^{\beta},[I]_{\beta_{3}}^{\beta}
b) Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Bases ordenadas (todas com vetores em \mathbb{R}^2; o enunciado escreveu \mathbb{R}^3 mas os vetores são de duas coordenadas, então tratamos como \mathbb{R}^2):
\beta=\{(1,0),(0,1)\}.
\beta_{1}=\{(-1,1),(1,1)\}.
\beta_{2}=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
\beta_{3}=\{(2,0),(0,2)\}.
O enunciado pede:
(a) Encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\beta_{1}},[I]_{\beta_{1}}^{\beta},[I]_{\beta_{2}}^{\beta},[I]_{\beta_{3}}^{\beta}.
(b) Calcular as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação a cada base \beta,\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}.
Passo 2
Entendendo o que é uma matriz de mudança de base (aula rápida e prática):
Para duas bases \mathcal{B} e \mathcal{C} de \mathbb{R}^2, a matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} é a matriz que transforma coordenadas de um vetor na base \mathcal{B} para coordenadas na base \mathcal{C}. Ou seja, para qualquer vetor x,
Como montar [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} na prática: escreva cada vetor da base \mathcal{B} como combinação linear dos vetores da base \mathcal{C}. As coordenadas desses coeficientes formam as colunas de [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}, na ordem dos vetores de \mathcal{B}.
Em particular:
[I]_{\beta}^{\beta_{1}}: colunas = coordenadas dos vetores de \beta (isto é, (1,0) e (0,1)) escritas na base \beta_1.
[I]_{\beta_{1}}^{\beta}: colunas = vetores de \beta_1 escritos nas coordenadas padrão (ou seja, as próprias coordenadas dadas); assim [I]_{\beta_{1}}^{\beta} é a matriz cujas colunas são (-1,1) e (1,1).
Para [I]_{\beta_{2}}^{\beta} e [I]_{\beta_{3}}^{\beta} a mesma ideia: colunas são os vetores das bases \beta_2,\beta_3 nas coordenadas padrão.
Passo 3
Calcular [I]_{\beta}^{\beta_{1}} (colunas: coordenadas de (1,0) e (0,1) na base \beta_{1}).
Seja b_1' = (-1,1) e b_2'=(1,1) os vetores da base \beta_1.
Para (1,0) procuramos escalares a,b tais que
a\,b_1' + b\,b_2' = (1,0).
Escrevendo as componentes:
-a + b = 1, \qquad a + b = 0.
Resolver o sistema: somando as duas equações obtém-se 2b=1 então b=\tfrac{1}{2}. Então a = -b = -\tfrac{1}{2}.
Para (0,1) procuramos c,d tais que
c\,b_1' + d\,b_2' = (0,1),
isto é
-c + d = 0, \qquad c + d = 1.
Somando as equações: 2d=1 então d=\tfrac{1}{2}. Logo c = \tfrac{1}{2}.
Assim as colunas de [I]_{\beta}^{\beta_{1}} (primeira coluna para (1,0), segunda para (0,1)) são \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}. Logo
Observação útil: esta matriz é de fato a inversa de [I]_{\beta}^{\beta_{1}}. Se quiser verificar, pode multiplicar as duas e obter a identidade 2\times2.]
Passo 5
Calcular [I]_{\beta_{2}}^{\beta}.
A base \beta_{2} tem vetores u_1=(\sqrt{3},1) e u_2=(\sqrt{3},-1). Assim [I]_{\beta_{2}}^{\beta} tem essas colunas (nas coordenadas padrão):