Uma bola é jogada com velocidade
para subir um plano inclinado áspero com inclinação
e coeficiente de atrito
. Encontre a posição da bola como função do tempo e determine a posição da bola quando passar a ocorrer rolamento puro (sem deslizamento). Considere que
é maior que
.
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício onde uma bola é lançada para subir um plano inclinado que tem uma certa inclinação e atrito. O assunto aqui é Dinâmica de Corpos em Planos Inclinado com Atrito. Para resolver, vamos precisar entender as forças que atuam na bola, aplicar as leis de Newton, usar equações de movimento e entender o que acontece quando a bola começa a rolar sem deslizar. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola enquanto ela sobe o plano inclinado:
- Força Peso (
): Puxa a bola para baixo, onde é a massa da bola e é a aceleração da gravidade. - Componente do Peso ao Longo do Plano (
): Essa é a parte do peso que faz a bola deslizar para baixo ao longo do plano. - Força Normal (
): É a força perpendicular ao plano inclinado, calculada por . - Força de Atrito (
): Age contra o movimento da bola, calculada por , onde é o coeficiente de atrito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração da bola. A força resultante na direção do movimento é:
A equação da segunda lei de Newton é:
Então, a aceleração (
) da bola é:
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção contrária ao movimento (a bola está desacelerando).
Passo 4
Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a velocidade da bola em função do tempo. A equação da velocidade é:
Substituindo o valor de
:
Passo 5
Agora, vamos determinar a posição da bola em função do tempo. Para isso, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Integrando:
Como a posição inicial
, a constante
. Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o momento em que a bola começa a rolar sem deslizar, ou seja, quando ocorre rolamento puro. Para isso, usamos a condição de que a velocidade linear (
) está relacionada com a velocidade angular (
) pela relação:
Onde
é o raio da bola. A aceleração angular (
) está relacionada com a aceleração linear (
) por:
Considerando a presença de atrito, a condição para rolar sem deslizar é que o atrito necessário para rotação pura seja menor ou igual ao atrito disponível. A partir da condição dada no enunciado,
, garantimos que a bola poderá rolar sem deslizar quando a velocidade chegar ao ponto crítico.
Passo 7
Para encontrar a posição em que ocorre o rolamento puro, primeiro encontramos o tempo
quando a velocidade da bola se torna zero (ponto de parada antes de começar a rolar). Da equação da velocidade:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na equação da posição:
Simplificando:
Resposta
A posição da bola em função do tempo é:
E a posição da bola quando ocorre o rolamento puro (sem deslizamento) é: