Uma bola é jogada com velocidade v0 para subir um plano inclinado áspero com inclinação theta e coeficiente de atrito mu. Encontre a posição da bola como função do tempo e determine a posição da bola quando passar a ocorrer rolamento puro (sem deslizamento). Considere que mu é maior que (2 / 7) tan theta.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício onde uma bola é lançada para subir um plano inclinado que tem uma certa inclinação e atrito. O assunto aqui é Dinâmica de Corpos em Planos Inclinado com Atrito. Para resolver, vamos precisar entender as forças que atuam na bola, aplicar as leis de Newton, usar equações de movimento e entender o que acontece quando a bola começa a rolar sem deslizar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na bola enquanto ela sobe o plano inclinado:
  1. Força Peso ( mg): Puxa a bola para baixo, onde m é a massa da bola e g é a aceleração da gravidade.
  2. Componente do Peso ao Longo do Plano ( mg sin theta): Essa é a parte do peso que faz a bola deslizar para baixo ao longo do plano.
  3. Força Normal ( N): É a força perpendicular ao plano inclinado, calculada por N = mg cos theta.
  4. Força de Atrito ( f): Age contra o movimento da bola, calculada por f = mu N = mu mg cos theta, onde mu é o coeficiente de atrito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração da bola. A força resultante na direção do movimento é:
Fresu
A equação da segunda lei de Newton é:
F = ma
Então, a aceleração ( a) da bola é:
a = Fresu
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção contrária ao movimento (a bola está desacelerando).

Passo 4

Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a velocidade da bola em função do tempo. A equação da velocidade é:
v(t) = v0 + a t
Substituindo o valor de a:
v(t) = v0 - g (sin theta + mu cos theta) t

Passo 5

Agora, vamos determinar a posição da bola em função do tempo. Para isso, integramos a velocidade em relação ao tempo:
s(t) = integral v(t) dt = integral [ v0 - g (sin theta + mu cos theta) t ] dt
Integrando:
s(t) = v0 t - 12 g (sin theta + mu cos theta) t^2 + C
Como a posição inicial s(0) = 0, a constante C = 0. Então:
s(t) = v0 t - 12 g (sin theta + mu cos theta) t^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar o momento em que a bola começa a rolar sem deslizar, ou seja, quando ocorre rolamento puro. Para isso, usamos a condição de que a velocidade linear ( v) está relacionada com a velocidade angular ( omega) pela relação:
v = omega R
Onde R é o raio da bola. A aceleração angular ( alpha) está relacionada com a aceleração linear ( a) por:
a = alpha R
Considerando a presença de atrito, a condição para rolar sem deslizar é que o atrito necessário para rotação pura seja menor ou igual ao atrito disponível. A partir da condição dada no enunciado, mu > 27 tan theta, garantimos que a bola poderá rolar sem deslizar quando a velocidade chegar ao ponto crítico.

Passo 7

Para encontrar a posição em que ocorre o rolamento puro, primeiro encontramos o tempo tp quando a velocidade da bola se torna zero (ponto de parada antes de começar a rolar). Da equação da velocidade:
0 = v0 - g (sin theta + mu cos theta) tp
Resolvendo para tp:
tp = v0g (sin theta + mu cos theta)
Agora, substituímos tp na equação da posição:
s(tp) = v0 ( v0g (sin theta + mu cos theta) ) - 12 g (sin theta + mu cos theta) ( v0g (sin theta + mu cos theta) )^2
Simplificando:
s(tp) = v0^2g (sin theta + mu cos theta) - v0^22 g (sin theta + mu cos theta) = v0^22 g (sin theta + mu cos theta)

Resposta

A posição da bola em função do tempo é:
s(t) = v0 t - 12 g (sin theta + mu cos theta) t^2
E a posição da bola quando ocorre o rolamento puro (sem deslizamento) é:
sp = v0^22 g (sin theta + mu cos theta)

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