Mostre que um circuito L-C amortecido perde a metade da sua energia, por aquecimento Joule, em um tempo
se
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Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um circuito L-C (indutor-capacitor) que está com amortecimento, ou seja, há uma resistência que causa perda de energia por aquecimento Joule. O objetivo é mostrar que esse circuito perde metade da sua energia em um tempo $ t_0 = \frac{\ln 2}{\beta} $ quando a frequência $ \omega $ tende a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia em um circuito L-C amortecido diminui ao longo do tempo e como o parâmetro $ \beta $ está relacionado a essa diminuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito L-C amortecido, a energia total do sistema é composta tanto pela energia armazenada no indutor quanto no capacitor. Devido à resistência presente, a energia diminui ao longo do tempo de forma exponencial. A equação que descreve essa diminuição é:
Aqui, $ E(t) $ é a energia no tempo $ t $, $ E_0 $ é a energia inicial, e $ \beta $ é o coeficiente de amortecimento, que depende da resistência $ R $ e da indutância $ L $ do circuito:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t_0 $ em que a energia $ E(t_0) $ seja metade da energia inicial $ E_0 $. Ou seja:
Substituindo na equação da energia:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação. Dividindo ambos os lados por $ E_0 $:
Para resolver para $ t_0 $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que $ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 $, então:
Passo 5
Agora, multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolamos $ t_0 $:
Resposta
Portanto, o circuito L-C amortecido perde metade da sua energia em um tempo $ t_0 = \frac{\ln 2}{2\beta} $ quando $ \omega \rightarrow 0 $.