A chave S1 é fechada um longo tempo e logo depois é aberta. Imediatamente a chave S2 é fechada (tempo t=0 ). Mostre que toda a energia armazenada no indutor é dissipada pelo resistor.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: a chave S₁ fica fechada por muito tempo, então abre, e em t=0 fechamos a chave S₂. A ideia é mostrar que toda a energia que estava “guardada” no indutor vai acabar virando calor no resistor.
Conteúdo: transiente em circuito RL.
O que vamos precisar:
  1. Montar a equação diferencial de corrente no laço resistor–indutor (Lei de Kirchhoff).
  2. Solucionar essa equação (eles são familiarmente do tipo primeiro ordem, com decaimento exponencial).
  3. Calcular a energia inicial no indutor e mostrar que ela é igual à integral da potência no resistor ao longo do tempo.

Passo 2

Quando S₂ fecha (e S₁ já está aberta), o único caminho é o circuito RL puro: indutor L em série com resistor R. Pela Lei de Kirchhoff de tensões:
vL(t) + vR(t) = 0
Sabemos que vL = Ldidt, vR = R,i(t)
Então:
Ldidt + R,i(t) = 0
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, típica de circuitos RL em desligamento.

Passo 3

Vamos resolver essa equação por separação de variáveis. Reescrevendo:
didt = -RL,i(t)
Separamos:
dii = -RL,dt
Integrando de 0 a t:
integrali(0)^i(t)1i',di' = -RLintegral0^tdt'
Isso dá
ln!l(i(t)r) - ln!l(i(0)r) = -RLt
Logo
i(t) = i(0),e^-RLt
Aqui, i(0) é a corrente em t=0, que vinha do indutor quando S₁ ficou fechada muito tempo antes.

Passo 4

A energia inicial armazenada no indutor é
Erm ind = 12,L,[i(0)]^2
Queremos mostrar que todo esse valor aparece como calor no resistor. A potência instantânea dissipada em R é
pR(t) = R,[i(t)]^2 = R,[i(0)]^2,e^-2RLt
A energia total dissipada até ttoinfty é
$$E_{\rm diss} = \int_{0}^{\infty} p_R(t),dt
= R,[i(0)]^2 \int_{0}^{\infty} e^{-2\frac{R}{L}t},dt.$$

Passo 5

Calculemos essa integral:
integral0^infty e^-2RLt,dt = [-L2R e^-2RLt]0^infty = L2R
Então
Erm diss = R,[i(0)]^2 cdot L2R = 12,L,[i(0)]^2 = Erm ind

Resposta

A energia inicial do indutor, Erm ind=tfrac12L,i(0)^2, é exatamente igual à energia dissipada pelo resistor, pois
integral0^inftyR,i^2(t),dt=12L,i(0)^2
Logo, toda a energia armazenada no indutor é dissipada pelo resistor.

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