A chave
é fechada um longo tempo e logo depois é aberta. Imediatamente a chave
é fechada (tempo
). Mostre que toda a energia armazenada no indutor é dissipada pelo resistor.
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: a chave S₁ fica fechada por muito tempo, então abre, e em t=0 fechamos a chave S₂. A ideia é mostrar que toda a energia que estava “guardada” no indutor vai acabar virando calor no resistor.
Conteúdo: transiente em circuito RL.
O que vamos precisar:
Conteúdo: transiente em circuito RL.
O que vamos precisar:
- Montar a equação diferencial de corrente no laço resistor–indutor (Lei de Kirchhoff).
- Solucionar essa equação (eles são familiarmente do tipo primeiro ordem, com decaimento exponencial).
- Calcular a energia inicial no indutor e mostrar que ela é igual à integral da potência no resistor ao longo do tempo.
Passo 2
Quando S₂ fecha (e S₁ já está aberta), o único caminho é o circuito RL puro: indutor L em série com resistor R. Pela Lei de Kirchhoff de tensões:
Sabemos que
Então:
Então:
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, típica de circuitos RL em desligamento.
Passo 3
Vamos resolver essa equação por separação de variáveis. Reescrevendo:
Separamos:
Integrando de 0 a t:
Isso dá
Logo
Aqui,
Passo 4
A energia inicial armazenada no indutor é
Queremos mostrar que todo esse valor aparece como calor no resistor. A potência instantânea dissipada em R é
A energia total dissipada até
é
$$E_{\rm diss} = \int_{0}^{\infty} p_R(t),dt
= R,[i(0)]^2 \int_{0}^{\infty} e^{-2\frac{R}{L}t},dt.$$
Passo 5
Calculemos essa integral:
Então
Resposta
A energia inicial do indutor,
, é exatamente igual à energia dissipada pelo resistor, pois
Logo, toda a energia armazenada no indutor é dissipada pelo resistor.