Encontre a inclinação da reta tangente ao círculo
no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a inclinação da reta tangente ao círculo dado pela equação polar
no ponto onde
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica em coordenadas polares e precisamos usar cálculo para achar a derivada que nos dá a inclinação da tangente. Vamos precisar converter coordenadas, aplicar fórmulas de derivadas e entender como a inclinação da reta tangente se relaciona com essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir as coordenadas cartesianas do ponto onde
. Nas coordenadas polares,
e
. Substituindo
e
:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente nessa coordenada. Para curvas polares, a inclinação da reta tangente em um ponto dado por
é dada pela fórmula:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
. Dada
, derivando em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da derivada:
Passo 6
Agora, substituindo esses valores na fórmula da inclinação:
Simplificando os cálculos:
Resposta
A inclinação da reta tangente ao círculo
no ponto onde
é 0.