(1,5) Encontre a inclinação da reta tangente ao círculo r=4 cdot cos (theta) no ponto em que theta=pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a inclinação da reta tangente ao círculo dado pela equação polar r = 4 cos(theta) no ponto onde theta = pi4 . Aqui, estamos lidando com geometria analítica em coordenadas polares e precisamos usar cálculo para achar a derivada que nos dá a inclinação da tangente. Vamos precisar converter coordenadas, aplicar fórmulas de derivadas e entender como a inclinação da reta tangente se relaciona com essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir as coordenadas cartesianas do ponto onde theta = pi4 . Nas coordenadas polares, x = r cos(theta) e y = r sin(theta) . Substituindo r = 4 cos(theta) e theta = pi4 :
x = 4 cos(pi4) cos(pi4) = 4 cdot raiz22 cdot raiz22 = 4 cdot 12 = 2
y = 4 cos(pi4) sin(pi4) = 4 cdot raiz22 cdot raiz22 = 4 cdot 12 = 2
Então, o ponto é (2, 2) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente nessa coordenada. Para curvas polares, a inclinação da reta tangente em um ponto dado por theta é dada pela fórmula:
dydx = ,r'(theta) sin(theta) + r(theta) cos(theta),r'(theta) cos(theta) - r(theta) sin(theta)
Onde r'(theta) é a derivada de r em relação a theta .

Passo 4

Vamos calcular r'(theta) . Dada r = 4 cos(theta) , derivando em relação a theta :
r'(theta) = -4 sin(theta)

Passo 5

Substituindo r(theta) = 4 cos(pi4) = 4 cdot raiz22 = 2raiz2 e theta = pi4 na fórmula da derivada:
r'(pi4) = -4 sin(pi4) = -4 cdot raiz22 = -2raiz2
sin(pi4) = raiz22 e cos(pi4) = raiz22

Passo 6

Agora, substituindo esses valores na fórmula da inclinação:
dydx = ,(-2raiz2) cdot raiz22 + 2raiz2 cdot raiz22,(-2raiz2) cdot raiz22 - 2raiz2 cdot raiz22
Simplificando os cálculos:
dydx = ,(-2raiz2 cdot raiz22) + (2raiz2 cdot raiz22),(-2raiz2 cdot raiz22) - (2raiz2 cdot raiz22)
= ,(-2) + (2),(-2) - (2) = 0-4 = 0

Resposta

A inclinação da reta tangente ao círculo r = 4 cos(theta) no ponto onde theta = pi4 é 0.

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