Mostre que um círculo de raio r possui perímetro
calculando o seu comprimento de arco.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o perímetro de um círculo de raio r é 2πr usando o cálculo do comprimento de arco. O conteúdo principal é comprimento de arco de curvas paramétricas, e vamos precisar parametrizar o círculo e aplicar a fórmula geral do comprimento de arco.
Passo 2
Para parametrizar o círculo de raio r, tomamos as funções
com t variando de 0 a 2π. Em seguida, calculamos as derivadas:
Aplicamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Passo 3
Substituindo as derivadas no integrando, temos
Então o comprimento de arco fica
Resposta
O perímetro do círculo de raio r é