Mostre que um círculo de raio r possui perímetro 2 pi r calculando o seu comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o perímetro de um círculo de raio r é 2πr usando o cálculo do comprimento de arco. O conteúdo principal é comprimento de arco de curvas paramétricas, e vamos precisar parametrizar o círculo e aplicar a fórmula geral do comprimento de arco.

Passo 2

Para parametrizar o círculo de raio r, tomamos as funções
x(t) = rcos t, y(t) = rsin t,
com t variando de 0 a 2π. Em seguida, calculamos as derivadas:
dxdt = -rsin t, dydt = rcos t
Aplicamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
L = integrala^b raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 3

Substituindo as derivadas no integrando, temos
raiz(-rsin t)^2 + (rcos t)^2 = raizr^2(sin^2 t + cos^2 t) = raizr^2 = r
Então o comprimento de arco fica
L = integral0^2pi r,dt = r l[tr]0^2pi = r,(2pi - 0) = 2pi r

Resposta

O perímetro do círculo de raio r é
2pi r

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