Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
A sequência é definida por
. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade de sequência usando o teste da razão para verificar se
é maior ou menor que 1.
Passo 2
Para ir pro teste da razão, calculamos
[
\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{\frac{(2(n+1))!}{5{n+1}}}{\frac{(2n)!}{5n}}
= \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\cdot\frac{5n}{5{n+1}}
= \frac{(2n+1)(2n+2)}{5}.
]
\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{\frac{(2(n+1))!}{5{n+1}}}{\frac{(2n)!}{5n}}
= \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\cdot\frac{5n}{5{n+1}}
= \frac{(2n+1)(2n+2)}{5}.
]
Passo 3
Agora, queremos ver quando essa razão é maior que 1:
Passo 4
Resolvendo
, as raízes são
, aproximadamente
e
. Como
é inteiro positivo (
), fica sempre acima de zero, ou seja,
Passo 5
Isso mostra que a sequência cresce em cada passo a partir de
.
Resposta
A sequência é crescente.