Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
(2 n)!5^n

Passo 1

A sequência é definida por an = (2n)!5^n. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade de sequência usando o teste da razão para verificar se an+1/an é maior ou menor que 1.

Passo 2

Para ir pro teste da razão, calculamos
[
\frac{a_{n+1}}{a_n}
= \frac{\frac{(2(n+1))!}{5{n+1}}}{\frac{(2n)!}{5n}}
= \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\cdot\frac{5n}{5{n+1}}
= \frac{(2n+1)(2n+2)}{5}.
]

Passo 3

Agora, queremos ver quando essa razão é maior que 1:
(2n+1)(2n+2)5 > 1 iff (2n+1)(2n+2) > 5 iff 4n^2 + 6n + 2 > 5 iff 4n^2 + 6n - 3 > 0

Passo 4

Resolvendo 4n^2 + 6n - 3 > 0, as raízes são n = -3 pm raiz214, aproximadamente -1,90 e 0,40. Como n é inteiro positivo ( n>=1), fica sempre acima de zero, ou seja,
an+1an > 1 para todo n>=1

Passo 5

Isso mostra que a sequência cresce em cada passo a partir de n=1.

Resposta

A sequência é crescente.

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