Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)2^n cdot n!

Passo 1

Temos a sequência an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n,n!. O conteúdo é monotonicidade de sequência, e vamos usar o teste da razão para comparar an+1 e an.

Passo 2

Vamos reescrever o numerador como duplo fatorial ou em termos de coeficiente binomial. Sabemos que (2n-1)!! = 1cdot3cdot5cdots(2n-1) = (2n)!2^n,n!. Portanto,
an = (2n-1)!!2^n,n! = (2n)!2^n,n!;2^n,n! = (2n)!4^n,(n!)^2 = binom2nn4^n.

Passo 3

Agora calculamos a razão an+1an. Usando binom2n+2n+1 = (2n+2)!(n+1)!,(n+1)! = 2(2n+1)n+1binom2nn, temos
an+1an = binom2n+2n+1/4^n+1binom2nn/4^n = 2(2n+1)n+1cdot14 = 2n+12(n+1)

Passo 4

Para todo n>=1, 2n+1<2n+2 implica 2n+12(n+1)<1. Logo an+1 para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é decrescente.

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