Mostre que a classe conjugada do elemento de identidade e é Ge=em=1^|G|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a classe conjugada do elemento identidade $ e $ num grupo $ G $ é simplesmente $ G_e = {e} $. Isso entra dentro da matéria de Teoria dos Grupos, mais especificamente no estudo das classes conjugadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma classe conjugada e como o elemento identidade se comporta dentro dessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma classe conjugada. Em um grupo $ G $, a classe conjugada de um elemento $ a $ é o conjunto de todos os elementos que podem ser obtidos conjugando $ a $ por todos os elementos de $ G $. Matematicamente, isso é representado por:
G
Isso significa que para cada $ g $ em $ G $, a gente pega $ g $, multiplica por $ a $ e depois por $ g^{-1} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao elemento identidade $ e $. Queremos encontrar $ G_e $, que é a classe conjugada de $ e $. Então, seguindo a definição:
e
Mas sabemos que $ e $ é a identidade do grupo, então:
Ge
Porque qualquer elemento $ g $ multiplicado pela sua inversa $ g^{-1} $ resulta na identidade $ e $.

Passo 4

O que acabamos de ver mostra que, não importa qual $ g $ a gente escolha em $ G $, conjugando $ e $ por $ g $ sempre resulta em $ e $ de novo. Ou seja, todos os elementos na classe conjugada $ G_e $ são iguais a $ e $.

Passo 5

Dessa forma, a classe conjugada de $ e $ não contém mais nada além de $ e $ ele mesmo. Então, podemos concluir que:
e

Resposta

A classe conjugada do elemento identidade $ e $ é $ G_e = {e} $.

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