Mostre que a classe conjugada do elemento de identidade
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a classe conjugada do elemento identidade $ e $ num grupo $ G $ é simplesmente $ G_e = {e} $. Isso entra dentro da matéria de Teoria dos Grupos, mais especificamente no estudo das classes conjugadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma classe conjugada e como o elemento identidade se comporta dentro dessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma classe conjugada. Em um grupo $ G $, a classe conjugada de um elemento $ a $ é o conjunto de todos os elementos que podem ser obtidos conjugando $ a $ por todos os elementos de $ G $. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que para cada $ g $ em $ G $, a gente pega $ g $, multiplica por $ a $ e depois por $ g^{-1} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição ao elemento identidade $ e $. Queremos encontrar $ G_e $, que é a classe conjugada de $ e $. Então, seguindo a definição:
Mas sabemos que $ e $ é a identidade do grupo, então:
Porque qualquer elemento $ g $ multiplicado pela sua inversa $ g^{-1} $ resulta na identidade $ e $.
Passo 4
O que acabamos de ver mostra que, não importa qual $ g $ a gente escolha em $ G $, conjugando $ e $ por $ g $ sempre resulta em $ e $ de novo. Ou seja, todos os elementos na classe conjugada $ G_e $ são iguais a $ e $.
Passo 5
Dessa forma, a classe conjugada de $ e $ não contém mais nada além de $ e $ ele mesmo. Então, podemos concluir que:
Resposta
A classe conjugada do elemento identidade $ e $ é $ G_e = {e} $.