a)
, onde
;
b)
, onde
;
c)
, onde
;
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular limites de funções vetoriais em três situações diferentes. O conteúdo envolve usar propriedades de limite por componentes, fatoração de polinômios, limites de funções trigonométricas, exponenciais e comportamentos de divergência ou de raiz.
Passo 2
Para a parte a), note que o limite de um vetor é o vetor dos limites de cada componente. Na primeira componente temos que fatorar o polinômio:
Logo, quando
, essa parte tende a
.
Na segunda componente temos . Sabendo que
, temos
Na segunda componente temos
Passo 3
Na parte b), de novo olhamos componente a componente.
-
: como , o numerador tende a 1 e o denominador a 0, logo o quociente cresce sem limite em módulo (tende a se e a se ). Portanto não existe limite finito aqui. -
Passo 4
Para a parte c), de novo por componentes e tomando o limite pela direita (
):
-
em é . -
em é . -
quando tende a pela definição de raiz.
Passo 5
Como o limite vetorial só existe se todos os limites de componente existirem (e forem finitos), na parte b) o limite não existe devido à primeira componente divergir.
Resposta
a)
b) não existe (primeira componente diverge) c)