a) lim t 1 f(t), onde f(t)=(t^2-1t-1, t-1cos (t-1));
b) lim t 0 f(t), onde f(t)=(cos (t)t, e^pi t);
c) lim t 2^+ f(t), onde f(t)=(cos (pi t) sen(pi t),-ln (2 t+1), raizt-2);

Passo 1

O enunciado pede para calcular limites de funções vetoriais em três situações diferentes. O conteúdo envolve usar propriedades de limite por componentes, fatoração de polinômios, limites de funções trigonométricas, exponenciais e comportamentos de divergência ou de raiz.

Passo 2

Para a parte a), note que o limite de um vetor é o vetor dos limites de cada componente. Na primeira componente temos que fatorar o polinômio:
t^2-1t-1 = (t-1)(t+1)t-1 = t+1
Logo, quando tto 1, essa parte tende a 1+1=2.
Na segunda componente temos t-1cos(t-1). Sabendo que cos(0)=1, temos
limtto1t-1cos(t-1) = 01 = 0

Passo 3

Na parte b), de novo olhamos componente a componente.
  1. limtto0cos(t)t: como cos(0)=1, o numerador tende a 1 e o denominador a 0, logo o quociente cresce sem limite em módulo (tende a +infty se tto0^+ e a -infty se tto0^-). Portanto não existe limite finito aqui.
  2. limtto0e^pi t = e^0 = 1

Passo 4

Para a parte c), de novo por componentes e tomando o limite pela direita ( tto2^+):
  1. cos(pi t)sin(pi t) em t=2 é cos(2pi)sin(2pi)=1cdot 0=0.
  2. -ln(2t+1) em t=2 é -ln(5).
  3. raizt-2 quando tto2^+ tende a 0 pela definição de raiz.

Passo 5

Como o limite vetorial só existe se todos os limites de componente existirem (e forem finitos), na parte b) o limite não existe devido à primeira componente divergir.

Resposta

a) (2,0) b) não existe (primeira componente diverge) c) (0,-ln(5),0)

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