Mostre que o cone de uma folha com vértice na origem z= \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} não é uma superfície regular.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado descreve a superfície (o cone) dada pelas equações
z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Em termos de conjunto, a superfície é
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z^{2}=x^{2}+y^{2}\}.
  • A pergunta é: mostrar que esse cone com vértice na origem não é uma superfície regular. Ou seja, provar que a origem (0,0,0) não é um ponto regular da superfície S.

Passo 2

Vou explicar o que significa “superfície regular” e que tipo de ferramentas básicas vamos usar (tudo passo a passo).
  • Intuição: uma superfície regular em \mathbb{R}^{3} é, localmente, algo que pode ser descrito por uma parametrização suave com derivada de posto 2. Isso garante que haja um plano tangente bem definido em cada ponto e que a superfície não tenha “pontas” ou “vértices” singulares naquele ponto.
  • Definição prática que usaremos (forma parametrizada): um ponto p\in S é regular se existe um aberto U\subset\mathbb{R}^{2} e uma aplicação suave X:U\to\mathbb{R}^{3} tais que
    1. X é uma parametrização local de S: X(U) é um aberto de S (na topologia relativa) contendo p;
    2. X é diferenciável e sua diferencial dX_{(u,v)} tem posto 2 para todo (u,v)\in U (em particular no ponto que mapeia para p).
      Isso significa que as duas derivadas parciais X_{u} e X_{v} são linearmente independentes e geram o plano tangente em p.
  • Consequência útil: se uma parametrização X(u,v) existe com X(u_{0},v_{0})=p e posto dX_{(u_{0},v_{0})}=2, então o plano tangente em p é bem definido (é a imagem de dX_{(u_{0},v_{0})}) e a normal (produto vetorial X_{u}\times X_{v}) existe e varia continuamente com a direção de aproximação.
Estratégia: mostrar que ao aproximar a origem por pontos do cone vindo por direções diferentes obtemos planos tangentes (ou normais) diferentes. Isso impede que exista uma parametrização suave com posto 2 no ponto da origem, porque uma tal parametrização exigiria um plano tangente único e um limite da normal independente da direção de aproximação.

Passo 3

Parametrização do cone fora do vértice (ideia e cálculo): trabalhar em coordenadas polares no plano xy.
  • Parametrizamos a “napa superior” z=+\sqrt{x^{2}+y^{2}} por
X(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\big),
com r>0 e \theta\in[0,2\pi). (Para a napa inferior z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}} usamos X(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,-r).)
  • Calcule as derivadas parciais (tudo explícito para você copiar na prova): X_{r}(r,\theta)=\big(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1\big),
X_{\theta}(r,\theta)=\big(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\big).
  • Para r>0 as duas vetores X_{r} e X_{\theta} são linearmente independentes (pois X_{\theta} tem terceira componente 0 enquanto X_{r} tem terceira componente 1), então o posto é 2: o cone é suave longe da origem. Portanto todos os pontos com r>0 são pontos regulares.

Passo 4

Calcule o vetor normal (não unitário) e veja que ele depende da direção \theta.
  • Produto vetorial (computado explicitamente): N(r,\theta)=X_{r}\times X_{\theta}.Vamos calcular componente a componente (faça na prova para treinar): N(r,\theta)=\big(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\big).Simplificando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, obtém-se N(r,\theta)=r\big(-\cos\theta,\;- \sin\theta,\;1\big).
  • Observe algo importante: para cada \theta fixo, quando r\to 0^{+} a norma de N(r,\theta) tende a 0, mas a direção (o vetor normal unitário) tende para a direção do vetor n(\theta)=\big(-\cos\theta,\;- \sin\theta,\;1\big).Ou seja, ao aproximar a origem ao longo uma curva com ângulo \theta (mantendo \theta fixo), o plano tangente converge para o plano normal a n(\theta).

Passo 5

Mostro que essas normas/direções de normal dependem de \theta de modo não trivial; isso impede um único plano tangente na origem.
  • Verifique que para dois ângulos distintos \theta_{1}\neq\theta_{2} os vetores n(\theta_{1}) e n(\theta_{2}) são diferentes (basta ver as duas primeiras coordenadas: -\cos\theta e -\sin\theta mudam com \theta). Portanto as direções normais-limite são diferentes.
  • Conseqüência: existe uma família de planos tangentes limite (um para cada \theta) que aparecem quando se aproxima a origem por raios com diferentes ângulos. Em particular, não existe um único plano tangente em (0,0,0) que seja o limite das tangentes próximas; o limite depende da direção de aproximação.

Passo 6

Chego à contradição com a hipótese de regularidade no vértice e concluo.
  • Se a origem fosse um ponto regular da superfície S, existiría uma parametrização Y(u,v) com Y(u_{0},v_{0})=(0,0,0) e posto dY_{(u_{0},v_{0})}=2. Essa parametrização definiria um plano tangente único em (0,0,0) (a imagem de dY_{(u_{0},v_{0})}) e um vetor normal bem definido (por exemplo Y_{u}\times Y_{v} avaliado naquele ponto, não nulo).
  • Mas mostramos que, aproximando a origem por pontos do cone existem limites de planos tangentes diferentes (dependendo de \theta). Isso contradiz a existência de um plano tangente único em (0,0,0).
  • Portanto não existe tal parametrização com posto 2 no ponto (0,0,0). Assim a origem não é um ponto regular de S.

Resposta

O cone z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}} não é uma superfície regular no vértice (0,0,0); em outras palavras, a origem não é um ponto regular da superfície.

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