Mostre que o cone de uma folha com vértice na origem
não é uma superfície regular.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado descreve a superfície (o cone) dada pelas equações
- Em termos de conjunto, a superfície é
- A pergunta é: mostrar que esse cone com vértice na origem não é uma superfície regular. Ou seja, provar que a origem
não é um ponto regular da superfície .
Passo 2
Vou explicar o que significa “superfície regular” e que tipo de ferramentas básicas vamos usar (tudo passo a passo).
-
Intuição: uma superfície regular em
é, localmente, algo que pode ser descrito por uma parametrização suave com derivada de posto . Isso garante que haja um plano tangente bem definido em cada ponto e que a superfície não tenha “pontas” ou “vértices” singulares naquele ponto. -
Definição prática que usaremos (forma parametrizada): um ponto
é regular se existe um aberto e uma aplicação suave tais que -
é uma parametrização local de : é um aberto de (na topologia relativa) contendo ; -
é diferenciável e sua diferencial tem posto para todo (em particular no ponto que mapeia para ).
Isso significa que as duas derivadas parciaise são linearmente independentes e geram o plano tangente em .
-
-
Consequência útil: se uma parametrização
existe com e posto , então o plano tangente em é bem definido (é a imagem de ) e a normal (produto vetorial ) existe e varia continuamente com a direção de aproximação.
Estratégia: mostrar que ao aproximar a origem por pontos do cone vindo por direções diferentes obtemos planos tangentes (ou normais) diferentes. Isso impede que exista uma parametrização suave com posto
no ponto da origem, porque uma tal parametrização exigiria um plano tangente único e um limite da normal independente da direção de aproximação.
Passo 3
Parametrização do cone fora do vértice (ideia e cálculo): trabalhar em coordenadas polares no plano
.
- Parametrizamos a “napa superior”
por
com
e
. (Para a napa inferior
usamos
.)
- Calcule as derivadas parciais (tudo explícito para você copiar na prova):
- Para
as duas vetores e são linearmente independentes (pois tem terceira componente enquanto tem terceira componente ), então o posto é : o cone é suave longe da origem. Portanto todos os pontos com são pontos regulares.
Passo 4
Calcule o vetor normal (não unitário) e veja que ele depende da direção
.
- Produto vetorial (computado explicitamente):
Vamos calcular componente a componente (faça na prova para treinar): Simplificando , obtém-se - Observe algo importante: para cada
fixo, quando a norma de tende a , mas a direção (o vetor normal unitário) tende para a direção do vetor Ou seja, ao aproximar a origem ao longo uma curva com ângulo (mantendo fixo), o plano tangente converge para o plano normal a .
Passo 5
Mostro que essas normas/direções de normal dependem de
de modo não trivial; isso impede um único plano tangente na origem.
- Verifique que para dois ângulos distintos
os vetores e são diferentes (basta ver as duas primeiras coordenadas: e mudam com ). Portanto as direções normais-limite são diferentes. - Conseqüência: existe uma família de planos tangentes limite (um para cada
) que aparecem quando se aproxima a origem por raios com diferentes ângulos. Em particular, não existe um único plano tangente em que seja o limite das tangentes próximas; o limite depende da direção de aproximação.
Passo 6
Chego à contradição com a hipótese de regularidade no vértice e concluo.
- Se a origem fosse um ponto regular da superfície
, existiría uma parametrização com e posto . Essa parametrização definiria um plano tangente único em (a imagem de ) e um vetor normal bem definido (por exemplo avaliado naquele ponto, não nulo). - Mas mostramos que, aproximando a origem por pontos do cone existem limites de planos tangentes diferentes (dependendo de
). Isso contradiz a existência de um plano tangente único em . - Portanto não existe tal parametrização com posto
no ponto . Assim a origem não é um ponto regular de .
Resposta
O cone
não é uma superfície regular no vértice
; em outras palavras, a origem não é um ponto regular da superfície.