Mostre que o parabolóide z=x^{2}+y^{2} é difeomorfo ao plano.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
É dado o parabolóide S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=x^{2}+y^{2}\}.
Pede-se mostrar que S é difeomorfo ao plano \mathbb{R}^{2}.
Pergunta clara: encontrar uma aplicação suave bijetiva entre \mathbb{R}^{2} e S cuja inversa também seja suave, e justificar por que isso prova que há um difeomorfismo.
Passo 2
Escolher um candidato natural para o difeomorfismo (intuição).
O parabolóide S é exatamente o gráfico da função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Para gráficos de funções é natural usar a parametrização que manda (u,v) para (u,v,f(u,v)). Assim proponho a aplicação
Comparando coordenadas primeiras duas, obtemos u_{1}=u_{2} e v_{1}=v_{2}. Logo \varphi é injetora.
Sobrejeção: seja (x,y,z)\in S. Pela definição de S tem-se z=x^{2}+y^{2}. Então \varphi(x,y)=(x,y,x^{2}+y^{2})=(x,y,z). Assim todo ponto de S tem pré-imagem em \mathbb{R}^{2}. Logo \varphi é sobrejetora.
Portanto \varphi é bijetiva.
Passo 4
Exibir explicitamente a inversa e verificar as composições identidade.
A inversa candidata é a projeção nas duas primeiras coordenadas restrita a S:
para todo (x,y,z)\in S, logo \varphi\circ\psi=\mathrm{id}_{S}.
Assim \psi é realmente a inversa de \varphi.
Passo 5
Verificar que \varphi e \psi são suaves (diferenciáveis de classe C^{\infty}).
\varphi é polinomial nas coordenadas: as componentes são u, v, u^{2}+v^{2}. Polinômios são suaves, logo \varphi é suave.
A projeção linear \Pi:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \Pi(x,y,z)=(x,y), é linear e portanto suave. A aplicação \psi é a restrição de \Pi à subvariedade S. Restrição de aplicação suave a subvariedade é suave, portanto \psi é suave.
Como \varphi é suave e bijetiva e sua inversa \psi também é suave, concluímos que \varphi é um difeomorfismo.
Passo 6
Comentário adicional (opcional para intuição): verificar o posto do jacobiano de \varphi.
A diferencial (Jacobiano) de \varphi é a matriz 3\times 2
cujas colunas são linearmente independentes (basta ver as duas primeiras coordenadas formarem a matriz identidade 2\times2). Assim D\varphi(u,v) tem posto 2 em todo ponto, o que mostra que \varphi é uma imersão regular e a imagem é uma subvariedade difeomorfa a \mathbb{R}^{2}. Isso dá uma verificação extra geométrica do fato de ser difeomorfismo.]