Mostre que o parabolóide z=x^{2}+y^{2} é difeomorfo ao plano.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • É dado o parabolóide S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=x^{2}+y^{2}\}.
  • Pede-se mostrar que S é difeomorfo ao plano \mathbb{R}^{2}.
Pergunta clara: encontrar uma aplicação suave bijetiva entre \mathbb{R}^{2} e S cuja inversa também seja suave, e justificar por que isso prova que há um difeomorfismo.

Passo 2

Escolher um candidato natural para o difeomorfismo (intuição).
  • O parabolóide S é exatamente o gráfico da função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Para gráficos de funções é natural usar a parametrização que manda (u,v) para (u,v,f(u,v)). Assim proponho a aplicação
\varphi:\mathbb{R}^{2}\to S,\qquad \varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2}).
Essa é a candidata a difeomorfismo.

Passo 3

Verificar que \varphi é bijetiva (injeção e sobrejeção).
  • Injetividade: se \varphi(u_{1},v_{1})=\varphi(u_{2},v_{2}) então
(u_{1},v_{1},u_{1}^{2}+v_{1}^{2})=(u_{2},v_{2},u_{2}^{2}+v_{2}^{2}).
Comparando coordenadas primeiras duas, obtemos u_{1}=u_{2} e v_{1}=v_{2}. Logo \varphi é injetora.
  • Sobrejeção: seja (x,y,z)\in S. Pela definição de S tem-se z=x^{2}+y^{2}. Então \varphi(x,y)=(x,y,x^{2}+y^{2})=(x,y,z). Assim todo ponto de S tem pré-imagem em \mathbb{R}^{2}. Logo \varphi é sobrejetora.
    Portanto \varphi é bijetiva.

Passo 4

Exibir explicitamente a inversa e verificar as composições identidade.
  • A inversa candidata é a projeção nas duas primeiras coordenadas restrita a S:
\psi:S\to\mathbb{R}^{2},\qquad \psi(x,y,z)=(x,y).
  • Composições:
\psi\circ\varphi(u,v)=\psi(u,v,u^{2}+v^{2})=(u,v),
ou seja \psi\circ\varphi=\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{2}}.
\varphi\circ\psi(x,y,z)=\varphi(x,y)=(x,y,x^{2}+y^{2})=(x,y,z),
para todo (x,y,z)\in S, logo \varphi\circ\psi=\mathrm{id}_{S}.
Assim \psi é realmente a inversa de \varphi.

Passo 5

Verificar que \varphi e \psi são suaves (diferenciáveis de classe C^{\infty}).
  • \varphi é polinomial nas coordenadas: as componentes são u, v, u^{2}+v^{2}. Polinômios são suaves, logo \varphi é suave.
  • A projeção linear \Pi:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}, \Pi(x,y,z)=(x,y), é linear e portanto suave. A aplicação \psi é a restrição de \Pi à subvariedade S. Restrição de aplicação suave a subvariedade é suave, portanto \psi é suave.
    Como \varphi é suave e bijetiva e sua inversa \psi também é suave, concluímos que \varphi é um difeomorfismo.

Passo 6

Comentário adicional (opcional para intuição): verificar o posto do jacobiano de \varphi.
  • A diferencial (Jacobiano) de \varphi é a matriz 3\times 2
D\varphi(u,v)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 2u & 2v\end{pmatrix},
cujas colunas são linearmente independentes (basta ver as duas primeiras coordenadas formarem a matriz identidade 2\times2). Assim D\varphi(u,v) tem posto 2 em todo ponto, o que mostra que \varphi é uma imersão regular e a imagem é uma subvariedade difeomorfa a \mathbb{R}^{2}. Isso dá uma verificação extra geométrica do fato de ser difeomorfismo.]

Resposta

Um difeomorfismo explícito é
\varphi:\mathbb{R}^{2}\to S,\qquad \varphi(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2}),
com inversa
\psi:S\to\mathbb{R}^{2},\qquad \psi(x,y,z)=(x,y).

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