Uma maneira de definir um sistema de coordenadas para a esfera
dada por
é considerar a chamada projeção estereográfica
que leva um ponto
da esfera
, menos o pólo norte
na interseção com o plano
da reta que liga
a
. Seja
,
(a) Mostre que
e que
é um sistema de coordenadas locais de
, que só omite o pólo norte
.
(b) Mostre que é possível, usando a projeção estereográfica, cobrir a esfera
com apenas duas vizinhanças coordenadas.
(b) Mostre que é possível, usando a projeção estereográfica, cobrir a esfera
Passo 1
O enunciado dá uma esfera
definida por
e o pólo norte
. A projeção estereográfica
leva cada ponto
para a interseção
da reta que liga
a
com o plano
. O enunciado pede:
(a) Mostrar que
e que
é um sistema de coordenadas locais em
que omite apenas
.
(b) Mostrar que, usando projeção estereográfica, é possível cobrir
com apenas duas vizinhanças coordenadas.
Lista das informações relevantes:
- Equação da esfera e centro
, raio . - Pólo norte
. - A projeção
é obtida pela interseção da reta com o plano . - Precisamos provar a fórmula algébrica do inverso e justificar que isso define uma carta (homeomorfismo suave com aberto de
), e em (b) construir a segunda carta e mostrar que as duas cobrem a esfera.
Passo 2
Construção geométrica algébrica da inversa: dado um ponto
interpretado como o ponto
do plano
, a reta que liga
a
tem equação paramétrica (parâmetro
):
Procuramos o valor de
tal que
pertença à esfera
; isto é, satisfaz a equação
Substituindo
na equação da esfera obtemos:
Simplificando a última parcela,
, então
Expandindo e simplificando:
Fatorando
(lembrando que
daria
, que não nos interessa):
Portanto o
buscado é
Passo 3
Agora substituímos
em
para obter as coordenadas do ponto da esfera correspondente a
. Usando
,
e
Assim obtemos exatamente a fórmula pedida:
Passo 4
Verificação algébrica de que
é de fato a inversa de
e que sua imagem é
.
- Mostrar que
. Para isso é útil ter a expressão explícita de em termos de . Tomando , a interseção com o plano da reta foi obtida antes com parâmetro . Se seguirmos a mesma conta inversa encontramos
logo as coordenadas no plano são
Essa é a expressão direta de
. Agora substituindo
pelas componentes de
e fazendo as contas (usando
), obtém-se de forma direta
. (É uma verificação algébrica elementar: basta substituir e simplificar as frações.)
- Mostrar que
para todo . A relação direta acima dá
Substituindo esses valores em
e simplificando recupera-se
(novamente por manipulação algébrica simples). Isso mostra que as duas aplicações são inversas uma da outra à esquerda e à direita no domínio apropriado.
-
Regularidade (suavidade): as componentes de
são funções racionais em com denominador , que é sempre ; portanto é suave em todo . A aplicação também é suave em (pode escrever coordenadas locais e ver que é composição de funções suaves). Como são inversas suaves entre si, define um difeomorfismo entre e . -
Conclusão sobre omissão: a única solução com
seria o ponto , que corresponde a nenhum . Logo a imagem de é exatamente . Portanto fornece um sistema de coordenadas (uma carta) em cujo domínio na esfera é .
Passo 5
Agora a parte (b): construir duas vizinhanças coordenadas que cubram
.
A ideia padrão (simétrica) é usar projeção estereográfica também a partir do pólo sul
. No nosso caso o pólo sul é
(o ponto diametralmente oposto a
). Defina a projeção estereográfica
que associa a cada
a interseção da reta que liga
a
com o plano
(ou, alternativamente, com o plano paralelo apropriado; qualquer plano que não contenha
funciona — escolher
dá fórmulas simétricas). Repetindo a conta do Passo 2, para
visto como
no plano
obtém-se a inversa explícita
cuja imagem é exatamente
. (A verificação é análoga à feita para
.)
Portanto temos duas cartas suaves:
-
; -
.
A união dos domínios na esfera é
ou seja, com essas duas vizinhanças coordenadas (as imagens de
e
) cobrimos toda a esfera. (Adicionalmente, a transição entre as duas cartas na interseção é suave; esta é uma verificação rotineira se for necessário.)
Resposta
(a)
.
é um sistema de coordenadas locais suave cuja imagem é
(omiti apenas o pólo norte
).
(b) Usando a projeção estereográfica a partir de
e a partir de
obtém-se duas cartas cujo domínios na esfera são
e
; a união desses dois domínios é
, logo duas vizinhanças coordenadas bastam.