Uma maneira de definir um sistema de coordenadas para a esfera \mathbb{S}^{2} dada por x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 é considerar a chamada projeção estereográfica \pi: \mathbb{S}^{2}-\{N\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que leva um ponto p=(x, y, z) da esfera \mathbb{S}^{2}, menos o pólo norte N=(0,0,2) na interseção com o plano x 0 y da reta que liga N a p. Seja (u, v)=\pi(x, y, z),
(x, y, z) \in \mathbb{S}^{2}-\{N\} \text { e }(u, v) \in x 0 y
(a) Mostre que
\pi^{-1}(u, v)=\left(\frac{4 u}{u^{2}+v^{2}+4}, \frac{4 v}{u^{2}+v^{2}+4}, \frac{2\left(u^{2}+v^{2}\right)}{u^{2}+v^{2}+4}\right)
e que \pi^{-1} é um sistema de coordenadas locais de \mathbb{S}^{2}, que só omite o pólo norte N.
(b) Mostre que é possível, usando a projeção estereográfica, cobrir a esfera \mathbb{S}^{2} com apenas duas vizinhanças coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera \mathbb{S}^{2} definida por
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1
e o pólo norte N=(0,0,2). A projeção estereográfica \pi:\mathbb{S}^{2}-\{N\}\to\mathbb{R}^{2} leva cada ponto p=(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}-\{N\} para a interseção (u,v,0) da reta que liga N a p com o plano z=0. O enunciado pede:
(a) Mostrar que
\pi^{-1}(u,v)=\left(\frac{4u}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{4v}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}\right),
e que \pi^{-1} é um sistema de coordenadas locais em \mathbb{S}^{2} que omite apenas N.
(b) Mostrar que, usando projeção estereográfica, é possível cobrir \mathbb{S}^{2} com apenas duas vizinhanças coordenadas.
Lista das informações relevantes:
  • Equação da esfera e centro C=(0,0,1), raio 1.
  • Pólo norte N=(0,0,2).
  • A projeção \pi é obtida pela interseção da reta N\!-\!p com o plano z=0.
  • Precisamos provar a fórmula algébrica do inverso e justificar que isso define uma carta (homeomorfismo suave com aberto de \mathbb{R}^{2}), e em (b) construir a segunda carta e mostrar que as duas cobrem a esfera.

Passo 2

Construção geométrica algébrica da inversa: dado um ponto (u,v)\in\mathbb{R}^{2} interpretado como o ponto (u,v,0) do plano z=0, a reta que liga N=(0,0,2) a (u,v,0) tem equação paramétrica (parâmetro s):
\ell(s)=N+s\big((u,v,0)-N\big)=(s u,\; s v,\; 2-2s).
Procuramos o valor de s\neq 0 tal que \ell(s) pertença à esfera \mathbb{S}^{2}; isto é, satisfaz a equação
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.
Substituindo \ell(s) na equação da esfera obtemos:
(su)^{2}+(sv)^{2}+\big((2-2s)-1\big)^{2}=1.
Simplificando a última parcela, (2-2s)-1=1-2s, então
s^{2}(u^{2}+v^{2})+(1-2s)^{2}=1.
Expandindo e simplificando:
s^{2}(u^{2}+v^{2})+1-4s+4s^{2}=1
\Rightarrow s^{2}\big(u^{2}+v^{2}+4\big)-4s=0.
Fatorando s (lembrando que s=0 daria N, que não nos interessa):
s\big(s(u^{2}+v^{2}+4)-4\big)=0.
Portanto o s\neq 0 buscado é
s=\frac{4}{u^{2}+v^{2}+4}.

Passo 3

Agora substituímos s em \ell(s) para obter as coordenadas do ponto da esfera correspondente a (u,v). Usando s=\dfrac{4}{u^{2}+v^{2}+4},
x = s u = \frac{4u}{u^{2}+v^{2}+4}, \qquad y = s v = \frac{4v}{u^{2}+v^{2}+4},
e
z = 2-2s = 2 - 2\cdot\frac{4}{u^{2}+v^{2}+4} = \frac{2(u^{2}+v^{2}+4)-8}{u^{2}+v^{2}+4} = \frac{2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}.
Assim obtemos exatamente a fórmula pedida:
\pi^{-1}(u,v)=\left(\frac{4u}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{4v}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}\right).

Passo 4

Verificação algébrica de que \pi^{-1} é de fato a inversa de \pi e que sua imagem é \mathbb{S}^{2}-\{N\}.
  1. Mostrar que \pi(\pi^{-1}(u,v))=(u,v). Para isso é útil ter a expressão explícita de \pi em termos de (x,y,z). Tomando p=(x,y,z)\in\mathbb{S}^{2}-\{N\}, a interseção com o plano z=0 da reta N+t(p-N) foi obtida antes com parâmetro t. Se seguirmos a mesma conta inversa encontramos
t=\frac{2}{2-z},
logo as coordenadas no plano são
u=\frac{2x}{2-z},\qquad v=\frac{2y}{2-z}.
Essa é a expressão direta de \pi(x,y,z). Agora substituindo x,y,z pelas componentes de \pi^{-1}(u,v) e fazendo as contas (usando 2-z=\dfrac{8}{u^{2}+v^{2}+4}), obtém-se de forma direta (u,v). (É uma verificação algébrica elementar: basta substituir e simplificar as frações.)
  1. Mostrar que \pi^{-1}(\pi(x,y,z))=(x,y,z) para todo p\neq N. A relação direta acima dá
\pi(x,y,z)=\Big(\frac{2x}{2-z},\frac{2y}{2-z}\Big).
Substituindo esses valores em \pi^{-1} e simplificando recupera-se (x,y,z) (novamente por manipulação algébrica simples). Isso mostra que as duas aplicações são inversas uma da outra à esquerda e à direita no domínio apropriado.
  1. Regularidade (suavidade): as componentes de \pi^{-1} são funções racionais em u,v com denominador u^{2}+v^{2}+4, que é sempre >0; portanto \pi^{-1} é suave em todo \mathbb{R}^{2}. A aplicação \pi também é suave em \mathbb{S}^{2}-\{N\} (pode escrever coordenadas locais e ver que é composição de funções suaves). Como são inversas suaves entre si, \pi^{-1} define um difeomorfismo entre \mathbb{R}^{2} e \mathbb{S}^{2}-\{N\}.
  2. Conclusão sobre omissão: a única solução com s=0 seria o ponto N, que corresponde a nenhum (u,v)\in\mathbb{R}^{2}. Logo a imagem de \pi^{-1} é exatamente \mathbb{S}^{2}-\{N\}. Portanto \pi^{-1} fornece um sistema de coordenadas (uma carta) em \mathbb{S}^{2} cujo domínio na esfera é \mathbb{S}^{2}-\{N\}.

Passo 5

Agora a parte (b): construir duas vizinhanças coordenadas que cubram \mathbb{S}^{2}.
A ideia padrão (simétrica) é usar projeção estereográfica também a partir do pólo sul S. No nosso caso o pólo sul é S=(0,0,0) (o ponto diametralmente oposto a N). Defina a projeção estereográfica \sigma:\mathbb{S}^{2}-\{S\}\to\mathbb{R}^{2} que associa a cada p\in\mathbb{S}^{2}-\{S\} a interseção da reta que liga S a p com o plano z=2 (ou, alternativamente, com o plano paralelo apropriado; qualquer plano que não contenha S funciona — escolher z=2 dá fórmulas simétricas). Repetindo a conta do Passo 2, para (u,v)\in\mathbb{R}^{2} visto como (u,v,2) no plano z=2 obtém-se a inversa explícita
\sigma^{-1}(u,v)=\left(\frac{4u}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{4v}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{8}{u^{2}+v^{2}+4}\right),
cuja imagem é exatamente \mathbb{S}^{2}-\{S\}. (A verificação é análoga à feita para \pi^{-1}.)
Portanto temos duas cartas suaves:
  • \varphi_{N}=\pi^{-1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{S}^{2}-\{N\};
  • \varphi_{S}=\sigma^{-1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{S}^{2}-\{S\}.
A união dos domínios na esfera é
(\mathbb{S}^{2}-\{N\})\cup(\mathbb{S}^{2}-\{S\})=\mathbb{S}^{2},
ou seja, com essas duas vizinhanças coordenadas (as imagens de \varphi_{N} e \varphi_{S}) cobrimos toda a esfera. (Adicionalmente, a transição entre as duas cartas na interseção é suave; esta é uma verificação rotineira se for necessário.)

Resposta

(a) \displaystyle \pi^{-1}(u,v)=\left(\frac{4u}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{4v}{u^{2}+v^{2}+4},\;\frac{2(u^{2}+v^{2})}{u^{2}+v^{2}+4}\right). \pi^{-1} é um sistema de coordenadas locais suave cuja imagem é \mathbb{S}^{2}-\{N\} (omiti apenas o pólo norte N).
(b) Usando a projeção estereográfica a partir de N e a partir de S=(0,0,0) obtém-se duas cartas cujo domínios na esfera são \mathbb{S}^{2}-\{N\} e \mathbb{S}^{2}-\{S\}; a união desses dois domínios é \mathbb{S}^{2}, logo duas vizinhanças coordenadas bastam.

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