Mostre que o conjunto B=(1,-1,0),(1,1,1),(1,0,1) é uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
B = (1,-1,0),,(1,1,1),,(1,0,1)
é uma base de R^3. Lembrando que um conjunto de três vetores em R^3 é base se e somente se for linearmente independente (portanto gera R^3). Para verificar a independência, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 2

Formamos a matriz
M = 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
e estudamos det(M).

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira linha, obtemos
det(M) =1cdotdet1 & 01 & 1 -1cdotdet-1 & 00 & 1 +1cdotdet-1 & 10 & 1
Calculando cada subdeterminante:
det1 & 01 & 1=1, det-1 & 00 & 1=-1, det-1 & 10 & 1=-1
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det(M)=1 -(-1)+(-1)=1+1-1=1

Passo 4

Como det(M)=1neq0, os vetores são linearmente independentes. Três vetores independentes em R^3 formam então uma base de R^3.

Resposta

O conjunto B é uma base de R^3.

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