Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de P(R) são linearmente dependentes:
(d) p=t^3+t^5, q=t+2 t^3+2 t^5, r=-t+t^3+t^5

Passo 1

O enunciado nos dá três polinômios em P(R):
p(t)=t^3+t^5, q(t)=t+2t^3+2t^5, r(t)=-t+t^3+t^5,
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, usaremos a definição: há dependência linear se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha,p(t)+beta,q(t)+gamma,r(t)equiv 0
como polinômio nulo.

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio nas coordenadas do “subespaço” gerado por t,t^3,t^5:
  • p(t) tem coeficiente 0 em t, 1 em t^3 e 1 em t^5, isto é, l(0,1,1r).
  • q(t) tem coeficiente 1 em t, 2 em t^3 e 2 em t^5, isto é, l(1,2,2r).
  • r(t) tem coeficiente -1 em t, 1 em t^3 e 1 em t^5, isto é, l(-1,1,1r).

Passo 3

A combinação alpha p+beta q+gamma r será o polinômio
(beta-gamma),t ;+;(alpha+2beta+gamma),t^3 ;+;(alpha+2beta+gamma),t^5
Para que isso seja o polinômio nulo, precisamos que todos os coeficientes sejam zero, gerando o sistema
beta-gamma=0, alpha+2beta+gamma=0

Passo 4

Do sistema tiramos de primeira beta=gamma. Substituindo na segunda equação:
alpha+2beta+beta=0 Longrightarrow alpha+3beta=0 Longrightarrow alpha=-3beta
Como temos três incógnitas e apenas duas equações independentes, existe solução não trivial. Por exemplo, tomando beta=1 e portanto gamma=1 e alpha=-3, obtemos
-3,p(t)+1cdot q(t)+1cdot r(t)equiv 0

Passo 5

Concluímos que existe relação não trivial entre p,q,r, logo o conjunto p,q,r é linearmente dependente.

Resposta

Os polinômios são linearmente dependentes, pois satisfazem
-3,p(t)+q(t)+r(t)=0

Exercícios relacionados