Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de
são linearmente dependentes:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá três polinômios em
:
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, usaremos a definição: há dependência linear se existem escalares
, não todos nulos, tais que
como polinômio nulo.
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio nas coordenadas do “subespaço” gerado por
:
-
tem coeficiente em , em e em , isto é, . -
tem coeficiente em , em e em , isto é, . -
tem coeficiente em , em e em , isto é, .
Passo 3
A combinação
será o polinômio
Para que isso seja o polinômio nulo, precisamos que todos os coeficientes sejam zero, gerando o sistema
Passo 4
Do sistema tiramos de primeira
. Substituindo na segunda equação:
Como temos três incógnitas e apenas duas equações independentes, existe solução não trivial. Por exemplo, tomando
e portanto
e
, obtemos
Passo 5
Concluímos que existe relação não trivial entre
, logo o conjunto
é linearmente dependente.
Resposta
Os polinômios são linearmente dependentes, pois satisfazem