Mostre que o conjunto é uma base do . Obtenha uma base para o subespaço de tais que .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que o conjunto
é uma base de ; segundo, encontrar uma base do subespaço
O espaço tem dimensão 3 e base canônica . Para mostrar que é base, basta provar que seus três vetores são linearmente independentes (ou que geram todo o espaço).
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio de em coordenadas na base canônica :
tem coordenadas .
tem coordenadas .
tem coordenadas .
Assim, a matriz cujas colunas são essas coordenadas é
Como det(M)neq0, os vetores de B são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, logo B é base de P2(R).
Passo 4
O subespaço W=pin P2(R)mid p(0)=0 consiste exatamente dos polinômios
p(t)=a,t + b,t^2, a,binR,
pois a condição p(0)=0 força o termo constante a ser zero. Portanto
W = span,t,;t^2
e t,,t^2 é uma base de W.
Resposta
O conjunto B=1-t,;1+t+t^2,;1+t^2 é base de P2(R) pois suas coordenadas formam uma matriz de determinante 1neq0.
Uma base do subespaço pin P2(R)mid p(0)=0 é t,,t^2.