Mostre que o conjunto B=1-t, 1+t+t^2, 1+t^2 é uma base do P2(R). Obtenha uma base para o subespaço de P2(R) tais que p(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que o conjunto
B = ,1 - t,;1 + t + t^2,;1 + t^2
é uma base de P2(R); segundo, encontrar uma base do subespaço
W = ,pin P2(R) mid p(0)=0
O espaço P2(R) tem dimensão 3 e base canônica 1,t,t^2. Para mostrar que B é base, basta provar que seus três vetores são linearmente independentes (ou que geram todo o espaço).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio de B em coordenadas na base canônica 1,t,t^2:
  • 1 - t tem coordenadas (1,,-1,,0).
  • 1 + t + t^2 tem coordenadas (1,,1,,1).
  • 1 + t^2 tem coordenadas (1,,0,,1).
Assim, a matriz cujas colunas são essas coordenadas é
M ;=; 1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) = 1 cdot 1 & 0 1 & 1 -1 cdot -1 & 0 0 & 1 +1 cdot -1 & 1 0 & 1 = 1cdot(1cdot1-1cdot0);-;1cdot(-1cdot1-0cdot0);+;1cdot(-1cdot1-0cdot1) =1 -(-1) +(-1) =1
Como det(M)neq0, os vetores de B são linearmente independentes em um espaço de dimensão 3, logo B é base de P2(R).

Passo 4

O subespaço W=pin P2(R)mid p(0)=0 consiste exatamente dos polinômios
p(t)=a,t + b,t^2, a,binR,
pois a condição p(0)=0 força o termo constante a ser zero. Portanto
W = span,t,;t^2
e t,,t^2 é uma base de W.

Resposta

O conjunto B=1-t,;1+t+t^2,;1+t^2 é base de P2(R) pois suas coordenadas formam uma matriz de determinante 1neq0.
Uma base do subespaço pin P2(R)mid p(0)=0 é t,,t^2.

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