Propriedades dos inversos em um grupo:
Seja G um grupo e x, y in G. Prove que :
(i) (x^-1)^-1=x
(ii) (xy)^-1=y^-1 x^-1

Passo 1

O enunciado diz que em um grupo G queremos provar duas propriedades relativas aos inversos: que o inverso do inverso de x é x e que o inverso de xy é y^-1x^-1. Vamos usar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e e inversos) e a unicidade do inverso.

Passo 2

Em todo grupo, o inverso de um elemento a é o único b tal que acdot b=e e bcdot a=e. Para provar que (x^-1)^-1=x, basta mostrar que x satisfaz esta condição em relação a x^-1. Sabemos pela definição de inverso que
x^-1cdot x = e e x cdot x^-1 = e
Logo, x é o inverso de x^-1. Pela unicidade do inverso, concluímos que
(x^-1)^-1 = x

Passo 3

Para mostrar que (xy)^-1=y^-1x^-1, definimos z = y^-1x^-1 e verificamos que z é de fato o inverso de xy. Primeiro calculemos
(xy)cdot z = (xy)cdot (y^-1x^-1) = xcdot (y,y^-1)cdot x^-1 = xcdot e cdot x^-1 = x,x^-1 = e,
e de forma semelhante
zcdot (xy) = (y^-1x^-1)cdot (xy) = y^-1cdot (x^-1x)cdot y = y^-1cdot e cdot y = y^-1y = e

Passo 4

Como z multiplica xy à esquerda e à direita dando o neutro, pela unicidade do inverso segue-se que
(xy)^-1 = y^-1x^-1

Resposta

(x^-1)^-1 = x e (xy)^-1 = y^-1x^-1.

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