Propriedades dos inversos em um grupo:
Seja
um grupo e
. Prove que :
(i)
(ii)
Seja
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado diz que em um grupo
queremos provar duas propriedades relativas aos inversos: que o inverso do inverso de
é
e que o inverso de
é
. Vamos usar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro
e inversos) e a unicidade do inverso.
Passo 2
Em todo grupo, o inverso de um elemento
é o único
tal que
e
. Para provar que
, basta mostrar que
satisfaz esta condição em relação a
. Sabemos pela definição de inverso que
Logo,
Passo 3
Para mostrar que
, definimos
e verificamos que
é de fato o inverso de
. Primeiro calculemos
e de forma semelhante
Passo 4
Como
multiplica
à esquerda e à direita dando o neutro, pela unicidade do inverso segue-se que