Sejam u=j+k, v=2 i+j e w=i+k vetores. Verifique se esses vetores formam uma base positiva ou negativa. Obtenha as coordenadas de a=3 i+2 j+2 k nesta base.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
u=(0,1,1), v=(2,1,0), w=(1,0,1)
e pede duas coisas: primeiro, determinar se (u,v,w) é uma base positiva ou negativa (isto é, o sinal do determinante na comparação com (i,j,k)); segundo, expressar a=(3,2,2) nessa base.

Passo 2

Para verificar a orientação da base, montamos a matriz cujas colunas são u,v,w:
M = 0 & 2 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
e calculamos det M.

Passo 3

O determinante de M é
det M =0cdot(1cdot1-0cdot0);-;2cdot(1cdot1-0cdot1);+;1cdot(1cdot0-1cdot1) =-2-1=-3
Como det M<0, a base (u,v,w) é negativa.

Passo 4

Para achar as coordenadas de a nessa base, escrevemos
alphau+betav+gammaw=a,
ou seja, o sistema
0alpha+2beta+1gamma=3, 1alpha+1beta+0gamma=2, 1alpha+0beta+1gamma=2

Passo 5

Da segunda equação vem alpha=2-beta. Da terceira obtemos gamma=2-alpha. Substituindo na primeira:
2beta+(2-alpha)=3Longrightarrow2beta+2-(2-beta)=3 Longrightarrow3beta=3 Longrightarrowbeta=1
Logo alpha=1 e gamma=1. Assim, as coordenadas são (alpha,beta,gamma)=(1,1,1).

Resposta

A base é negativa e as coordenadas de a nessa base são (1,1,1).

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