Mostre que:
Se
é um conjunto LD e
, então
é LD.
Se
Passo 1
Vamos recapitular o que significa “conjunto linearmente dependente” (LD). Seja
um espaço vetorial e
. Dizemos que
é LD se existem vetores
distintos e escalares
, não todos nulos, tais que
No enunciado, sabemos que
é LD e que
. Nosso objetivo é mostrar que
também é LD.
Passo 2
Pela hipótese de dependência linear de
, existem
e escalares
, com pelo menos um
, tais que
Como
, esses mesmos vetores
também pertencem a
. Logo, encontramos em
uma combinação linear não trivial que soma zero.
Resposta
Portanto,
é linearmente dependente.