Mostre que:
Se A é um conjunto LD e A \subseteq B, então B é LD.

Passo 1

Vamos recapitular o que significa “conjunto linearmente dependente” (LD). Seja V um espaço vetorial e X\subseteq V. Dizemos que X é LD se existem vetores v_1,\dots,v_n\in X distintos e escalares a_1,\dots,a_n, não todos nulos, tais que
\sum_{k=1}^{n}a_k\,v_k \;=\;0.
No enunciado, sabemos que A\subseteq V é LD e que A\subseteq B\subseteq V. Nosso objetivo é mostrar que B também é LD.

Passo 2

Pela hipótese de dependência linear de A, existem v_1,\dots,v_n\in A e escalares a_1,\dots,a_n, com pelo menos um a_k\neq 0, tais que
\sum_{k=1}^{n}a_k\,v_k \;=\;0.
Como A\subseteq B, esses mesmos vetores v_1,\dots,v_n também pertencem a B. Logo, encontramos em B uma combinação linear não trivial que soma zero.

Resposta

Portanto, B é linearmente dependente.

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