Mostre que:
\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} e \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}+k v_{1}\right\} geram o mesmo subespaço para qualquer k \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados vetores v_{1},v_{2},v_{3} em um espaço vetorial V e um escalar k\in\mathbb{R}, os dois conjuntos
S=\{\,v_{1},v_{2},v_{3}\} \quad\text{e}\quad T=\{\,v_{1},v_{2},v_{3}+k\,v_{1}\}
geram o mesmo subespaço de V.
Conteúdo: teoria de subespaços gerados (span) e prova de igualdade de spans via duplas inclusões.

Passo 2

Prova de \operatorname{span}S\subseteq\operatorname{span}T.
Seja
w=\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3} \quad\text{com}\;\alpha_{i}\in\mathbb{R}.
Reescrevemos v_{3} em função de v_{3}+k\,v_{1}:
v_{3}=(v_{3}+k\,v_{1})-k\,v_{1}.
Substituindo em w obtém-se
w =\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}\bigl((v_{3}+k\,v_{1})-k\,v_{1}\bigr) =(\alpha_{1}-k\alpha_{3})\,v_{1}+\alpha_{2}\,v_{2}+\alpha_{3}\,(v_{3}+k\,v_{1}),
que é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}+k\,v_{1}. Logo w\in\operatorname{span}T.

Passo 3

Prova de \operatorname{span}T\subseteq\operatorname{span}S.
Seja
w'= \beta_{1}v_{1}+\beta_{2}v_{2}+\beta_{3}(v_{3}+k\,v_{1}) \quad\text{com}\;\beta_{i}\in\mathbb{R}.
Expandindo obtemos
w'= (\beta_{1}+k\beta_{3})\,v_{1}+\beta_{2}\,v_{2}+\beta_{3}\,v_{3},
que é combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}. Portanto w'\in\operatorname{span}S.

Resposta

Como há inclusão recíproca de spans, concluímos
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} =\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}+k\,v_{1}\}.

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