Mostre que:
e
geram o mesmo subespaço para qualquer
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados vetores
em um espaço vetorial
e um escalar
, os dois conjuntos
geram o mesmo subespaço de
.
Conteúdo: teoria de subespaços gerados (span) e prova de igualdade de spans via duplas inclusões.
Conteúdo: teoria de subespaços gerados (span) e prova de igualdade de spans via duplas inclusões.
Passo 2
Prova de
.
Seja
Seja
Reescrevemos
em função de
:
Substituindo em
obtém-se
que é combinação linear de
. Logo
.
Passo 3
Prova de
.
Seja
Seja
Expandindo obtemos
que é combinação linear de
. Portanto
.
Resposta
Como há inclusão recíproca de spans, concluímos