Seja M=\{0\} \cup\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\} com a métrica usual induzida. Mostre que a função f: M \rightarrow \mathbb{R} definida por f(0)=0 e f\left(\frac{1}{n}\right)=n é contínua em todo ponto \frac{1}{n} de M mas não é contínua no ponto 0.
com a métrica usual (a distância é a distância absoluta herdada de \mathbb{R}). A função f:M\to\mathbb{R} é definida por
f(0)=0\quad\text{e}\quad f\!\left(\frac{1}{n}\right)=n\\ \text{ para cada }n\in\mathbb{N}.
O problema pede para mostrar duas coisas:
Que f é contínua em cada ponto \frac{1}{n} de M.
Que f não é contínua em 0.
Listei claramente o que é dado e as duas perguntas que devemos responder. A resolução começará no Passo 2.
Passo 2
Definição de continuidade (em linguagem de métrica, que é a que usamos aqui): seja a\in M. Dizemos que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x\in M, se |x-a|<\delta então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Negação (para mostrar falta de continuidade): f não é contínua em a se existe \varepsilon_0>0 tal que, para todo \delta>0, existe x\in M com |x-a|<\delta e |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon_0.
Vou aplicar essas definições aos pontos \frac{1}{n} e a 0.
Passo 3
Uma observação útil (lema) que vou usar: se a\in M é um ponto isolado de M — isto é, existe \delta>0 tal que B(a,\delta)\cap M=\{a\} — então qualquer função f:M\to\mathbb{R} é automaticamente contínua em a.
Prova do lema, explicadinha: suponha que exista \delta_0>0 tal que, se x\in M e |x-a|<\delta_0 então x=a. Dado \varepsilon>0 qualquer, basta tomar \delta=\delta_0. Se x\in M satisfaz |x-a|<\delta, então x=a e assim |f(x)-f(a)|=0<\varepsilon. Logo a condição da continuidade é satisfeita. Fim do lema.
Esse fato é muito prático: em pontos isolados a continuação é trivial, porque não há outros pontos próximos no espaço domínio.
Passo 4
Agora mostro que cada ponto \frac{1}{n} é isolado em M. Para um dado n\in\mathbb{N} considere as distâncias de \frac{1}{n} aos outros pontos de M.
pois \frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n} e \frac{1}{n(n+1)}\le\frac{1}{n(n-1)} quando n\ge2 (para n=1 a menor distância aos outros pontos é \frac{1}{2}, que também é \frac{1}{1\cdot 2}). Portanto existe uma quantidade positiva mínima de afastamento entre \frac{1}{n} e qualquer outro ponto de M.
Escolha, por exemplo,
\delta_n=\frac{1}{2n(n+1)}>0.
Então se x\in M e |x-\tfrac{1}{n}|<\delta_n segue que necessariamente x=\tfrac{1}{n}. Em outras palavras,
Aplicando o lema do Passo 3: como cada \tfrac{1}{n} é isolado (Passo 4), qualquer função f:M\to\mathbb{R} é contínua em \tfrac{1}{n}. Em particular, a função dada é contínua em todo ponto \tfrac{1}{n}.
Vou escrever explicitamente o argumento \varepsilon-\delta para deixar bem claro como fazer na prova: seja a=\tfrac{1}{n} fixo e seja \varepsilon>0 qualquer. Tome \delta=\delta_n=\frac{1}{2n(n+1)}. Se x\in M e |x-a|<\delta então, pela escolha de \delta, temos x=a. Assim
|f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0<\varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhida acima) que garante a continuação, ou seja, f é contínua em a=\tfrac{1}{n}.
Passo 6
Mostro agora que f não é contínua em 0. Vou usar a forma negada da definição: encontro um \varepsilon_0>0 tal que, para qualquer \delta>0, existe x\in M com |x-0|<\delta e |f(x)-f(0)|\ge\varepsilon_0.
Escolho \varepsilon_0=1. Seja qualquer \delta>0. Como \tfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, existe N\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{N}<\delta.
Então x=\tfrac{1}{N} pertence a M e satisfaz |x-0|=\tfrac{1}{N}<\delta. Porém
Isso mostra que, para este \varepsilon_0, não existe \delta>0 satisfazendo a condição da continuidade em 0. Portanto f não é contínua em 0.
Passo 7
Intuição final (para você lembrar na prova): os pontos \tfrac{1}{n} são isolados em M, então não há vizinhança em M que se aproxime deles por outros pontos — daí a continuidade automática em cada \tfrac{1}{n}. Já em 0 a situação é o contrário: há uma sequência de pontos \tfrac{1}{n} que se aproximam de 0, mas f(\tfrac{1}{n})=n explode para o infinito, logo f não pode ficar perto de f(0)=0 quando nos aproximamos de 0; isso é exatamente a falta de continuidade que provamos no Passo 6.
Resposta
f é contínua em todo ponto \tfrac{1}{n} de M.\nf não é contínua em 0.