Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:
S é limitado pelos cilindros x^{2}+y^{2}=a^{2} e y^{2}+z^{2}=a^{2}, onde a>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que é a região comum aos cilindros
x^{2}+y^{2}\le a^{2}
e
y^{2}+z^{2}\le a^{2},
com a>0. O conteúdo principal é usar integração por fatias (slicing) para calcular um volume em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos fazer fatias paralelas ao plano xz, isto é, para cada valor fixo de y entre -a e a encontramos a área da seção transversal em x e z.
As desigualdades em x e z ficam
x^{2}\le a^{2}-y^{2}, \quad z^{2}\le a^{2}-y^{2},
logo em cada fatia x varia de -\sqrt{a^{2}-y^{2}} a +\sqrt{a^{2}-y^{2}} e o mesmo para z.

Passo 3

A área da seção transversal em função de y é
A(y) = \bigl[2\sqrt{a^{2}-y^{2}}\bigr] \cdot \bigl[2\sqrt{a^{2}-y^{2}}\bigr] = 4\bigl(a^{2}-y^{2}\bigr).

Passo 4

Agora integramos A(y) de y=-a a y=+a:
V = \int_{-a}^{a} A(y)\,dy = 4 \int_{-a}^{a} \bigl(a^{2}-y^{2}\bigr)\,dy.
Como a^{2}-y^{2} é função par,
\int_{-a}^{a} \bigl(a^{2}-y^{2}\bigr)\,dy =2\int_{0}^{a} \bigl(a^{2}-y^{2}\bigr)\,dy =2\Bigl[a^{2}y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{a} =2\Bigl(a^{3}-\tfrac{a^{3}}{3}\Bigr) =\frac{4a^{3}}{3}.
Portanto
V = 4 \cdot \frac{4a^{3}}{3} = \frac{16a^{3}}{3}.

Resposta

V = \frac{16a^{3}}{3}.

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