Seja
um anel. Defina potências por:
Prove, para
:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um anel (ou seja, tem uma adição e uma multiplicação com as propriedades usuais; em particular a multiplicação é associativa). - As potências de um elemento
são definidas recursivamente por
-
e são naturais não nulos (isto é, ).
O que se pede provar é a igualdade
para todo
.
Passo 2
Observações e propriedades úteis que vamos usar (tudo extraído do enunciado ou de propriedades padrão de anéis):
- A definição recursiva diz que
é o produto de cópias de com associação implícita à esquerda pela recorrência. Por exemplo, . - A multiplicação em um anel é associativa: para quaisquer
,
Essa associatividade permite reagrupamentos de produtos sem mudar o resultado, o que será essencial ao manipular potências.
- Não é necessário supor comutatividade ou existência de elemento neutro multiplicativo para esta prova; a definição recursiva e a associatividade bastam.
Passo 3
Explicação do método que usaremos: indução finita no expoente
.
Breve aula sobre indução matemática:
Breve aula sobre indução matemática:
- Para provar uma propriedade
para todo procede-se em duas etapas: - Base: prova-se
(ou conforme o caso). - Passo indutivo: assume-se
verdadeira para um arbitrário (hipótese indutiva) e provaa-se .
- Base: prova-se
- Se ambos são mostrados, então
vale para todo .
Aqui vamos fixar
arbitrário e provar por indução em
que
Passo 4
Base da indução (
). Devemos mostrar
.
Pelo enunciado, a definição recursiva dá para qualquer
que
Aplicando isso com
(note que
pois
), obtemos
Mas pela definição
, logo
Portanto
é verdadeira.
Passo 5
Hipótese indutiva. Suponha que, para algum
, valha
Essa é a hipótese de indução; a partir dela mostraremos
.
Passo 6
Passo indutivo: provar
, isto é, mostrar
Começamos pela definição da potência à esquerda. Como
,
(pela regra
aplicada a
). Agora usamos a hipótese indutiva
para substituir:
Pela associatividade da multiplicação em
podemos reagrupar os parênteses sem alterar o produto:
Finalmente, pela definição recursiva
, obtemos
Juntando as igualdades temos
ou seja,
é verdadeira.
Passo 7
Conclusão da indução: como
é verdadeira e
foi provado, segue por indução que
vale para todo
. Lembrando que
foi um inteiro arbitrário, concluímos que a igualdade
vale para todos
.
Comentário final (didático e exemplificante): por exemplo, para
e
a prova garante que
onde a associação foi justificada pela associatividade. Observe que em nenhuma etapa foi necessária a comutatividade; apenas a associatividade e a definição recursiva de potências.