Seja A um anel. Defina potências por:
x^{1}=x, \quad x^{2}=x \cdot x, \quad \ldots, \quad x^{n}=x^{n-1} \cdot x .
Prove, para m, n \in \mathbb{N}-\{0\} :
x^{m+n}=x^{m} \cdot x^{n}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A é um anel (ou seja, tem uma adição e uma multiplicação com as propriedades usuais; em particular a multiplicação é associativa).
  • As potências de um elemento x\in A são definidas recursivamente por
x^{1}=x,\qquad x^{n}=x^{n-1}\cdot x\quad\text{para }n\ge 2.
  • m e n são naturais não nulos (isto é, m,n\in\mathbb{N}-\{0\}).
O que se pede provar é a igualdade
x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}
para todo m,n\in\mathbb{N}-\{0\}.

Passo 2

Observações e propriedades úteis que vamos usar (tudo extraído do enunciado ou de propriedades padrão de anéis):
  • A definição recursiva diz que x^{k} é o produto de k cópias de x com associação implícita à esquerda pela recorrência. Por exemplo, x^{3}=(x^{2})\cdot x=(x\cdot x)\cdot x.
  • A multiplicação em um anel é associativa: para quaisquer a,b,c\in A,
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).
Essa associatividade permite reagrupamentos de produtos sem mudar o resultado, o que será essencial ao manipular potências.
  • Não é necessário supor comutatividade ou existência de elemento neutro multiplicativo para esta prova; a definição recursiva e a associatividade bastam.

Passo 3

Explicação do método que usaremos: indução finita no expoente n.
Breve aula sobre indução matemática:
  • Para provar uma propriedade P(n) para todo n\in\mathbb{N} procede-se em duas etapas:
    1. Base: prova-se P(1) (ou P(0) conforme o caso).
    2. Passo indutivo: assume-se P(n) verdadeira para um n arbitrário (hipótese indutiva) e provaa-se P(n+1).
  • Se ambos são mostrados, então P(n) vale para todo n\ge 1.
Aqui vamos fixar m\ge 1 arbitrário e provar por indução em n\ge 1 que
P(n):\qquad x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}.

Passo 4

Base da indução ( n=1). Devemos mostrar x^{m+1}=x^{m}\cdot x^{1}.
Pelo enunciado, a definição recursiva dá para qualquer k\ge 2 que
x^{k}=x^{k-1}\cdot x.
Aplicando isso com k=m+1 (note que m+1\ge 2 pois m\ge 1), obtemos
x^{m+1}=x^{m}\cdot x.
Mas pela definição x^{1}=x, logo
x^{m+1}=x^{m}\cdot x = x^{m}\cdot x^{1}.
Portanto P(1) é verdadeira.

Passo 5

Hipótese indutiva. Suponha que, para algum n\ge 1, valha
x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}.
Essa é a hipótese de indução; a partir dela mostraremos P(n+1).

Passo 6

Passo indutivo: provar P(n+1), isto é, mostrar
x^{m+(n+1)}=x^{m}\cdot x^{n+1}.
Começamos pela definição da potência à esquerda. Como m+n+1\ge 2,
x^{m+(n+1)}=x^{m+n+1}=x^{m+n}\cdot x
(pela regra x^{k}=x^{k-1}\cdot x aplicada a k=m+n+1). Agora usamos a hipótese indutiva x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n} para substituir:
x^{m+n}\cdot x = (x^{m}\cdot x^{n})\cdot x.
Pela associatividade da multiplicação em A podemos reagrupar os parênteses sem alterar o produto:
(x^{m}\cdot x^{n})\cdot x = x^{m}\cdot (x^{n}\cdot x).
Finalmente, pela definição recursiva x^{n+1}=x^{n}\cdot x, obtemos
x^{m}\cdot (x^{n}\cdot x)=x^{m}\cdot x^{n+1}.
Juntando as igualdades temos
x^{m+(n+1)}=x^{m}\cdot x^{n+1},
ou seja, P(n+1) é verdadeira.

Passo 7

Conclusão da indução: como P(1) é verdadeira e P(n)\Rightarrow P(n+1) foi provado, segue por indução que P(n) vale para todo n\ge 1. Lembrando que m\ge 1 foi um inteiro arbitrário, concluímos que a igualdade
x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}
vale para todos m,n\in\mathbb{N}-\{0\}.
Comentário final (didático e exemplificante): por exemplo, para m=2 e n=3 a prova garante que
x^{5}=x^{2}\cdot x^{3}=(x\cdot x)\cdot(x\cdot x\cdot x),
onde a associação foi justificada pela associatividade. Observe que em nenhuma etapa foi necessária a comutatividade; apenas a associatividade e a definição recursiva de potências.

Resposta

x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}

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