Seja A=\mathbb{Z}[i] com i^{2}=-1. Prove que é domínio de integridade e determine seus inversíveis.

Passo 1

O enunciado dá o anel A=\mathbb{Z}[i], onde i^{2}=-1. Pede duas coisas:
  • Provar que \mathbb{Z}[i] é domínio de integridade (ou seja, anel comutativo com 1\neq0 e sem divisores de zero).
  • Determinar todos os elementos inversíveis (unidades) de \mathbb{Z}[i].
Informações relevantes fornecidas/implícitas:
  • Todo elemento de \mathbb{Z}[i] tem a forma a+bi com a,b\in\mathbb{Z}.
  • As operações são a soma e o produto usuais herdados de \mathbb{C}.

Passo 2

Mostrar que \mathbb{Z}[i] é um subanel de \mathbb{C} e, por isso, não tem divisores de zero.
Explicação e detalhes:
  • Definição de \mathbb{Z}[i]: \mathbb{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z}\}.
  • Fechamento: se z_1=a+bi e z_2=c+di com a,b,c,d\in\mathbb{Z}, então z_1+z_2=(a+c)+(b+d)ie z_1 z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i,cujos coeficientes são inteiros. Logo z_1+z_2 e z_1 z_2 pertencem a \mathbb{Z}[i]. O elemento 1=1+0i pertence a \mathbb{Z}[i]. Assim \mathbb{Z}[i] é um subanel de \mathbb{C}.
  • Porque \mathbb{C} é um corpo (em particular, um domínio de integridade), se z_1,z_2\in\mathbb{Z}[i] satisfazem z_1 z_2=0 visto em \mathbb{Z}[i], esse produto também é zero em \mathbb{C}. Mas em \mathbb{C} a igualdade z_1 z_2=0 implica que z_1=0 ou z_2=0. Portanto não existem divisores de zero não nulos em \mathbb{Z}[i].
  • Conclusão: \mathbb{Z}[i] é um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, isto é, é um domínio de integridade.
Observação pedagógica: outra forma, mais própria a anéis quadráticos, é usar a “norma” (ver Passo 3) para demonstrar ausência de divisores de zero; ambas as ideias são equivalentes aqui.

Passo 3

Introduzir a norma e mostrar propriedades úteis (isso vai ajudar a identificar unidades e também é uma ferramenta padrão para provas em \mathbb{Z}[i]).
Definição e verificação:
  • Para z=a+bi\in\mathbb{Z}[i] define-se a norma N(z)=a^{2}+b^{2}.Observação: N(z) é um inteiro não negativo e N(z)=0 sse a=b=0, isto é, sse z=0.
  • Mostraremos que a norma é multiplicativa. Tomando z_1=a+bi e z_2=c+di, z_1 z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i.Então N(z_1 z_2)=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.Desenvolvendo e somando os termos dá-se (passo a passo): (ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2} =a^{2}c^{2}-2acbd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+2adbc+b^{2}c^{2}.Os termos cruzados -2acbd e +2adbc cancelam porque são iguais em valor absoluto e de sinais opostos? Na verdade reorganizando os somatórios (ou usando produto com o conjugado) vemos que o resultado é a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=N(z_1)N(z_2).Portanto N(z_1 z_2)=N(z_1)N(z_2).
  • Alternativa rápida (conceito útil): N(z)=z\overline{z} onde \overline{z}=a-bi é o conjugado, então N(z_1 z_2)=(z_1 z_2)\overline{(z_1 z_2)}=z_1\overline{z_1}z_2\overline{z_2}=N(z_1)N(z_2).

Passo 4

Caracterizar os elementos inversíveis (unidades) em termos da norma.
Definição e argumento:
  • Lembre: um elemento u\in\mathbb{Z}[i] é inversível se existe v\in\mathbb{Z}[i] tal que uv=1.
  • Se u é inversível com inverso v, aplicando a norma obtém-se N(uv)=N(1)=1.Como a norma é multiplicativa, N(u)N(v)=1. Mas N(u) e N(v) são inteiros não negativos; a única forma de dois inteiros não negativos multiplicarem para 1 é ambos serem 1. Logo N(u)=1.
  • Recíproco: se u=a+bi\in\mathbb{Z}[i] satisfaz N(u)=1, então o inverso de u visto em \mathbb{C} é u^{-1}=\frac{\overline{u}}{N(u)}=\overline{u},porque N(u)=1. Como \overline{u}=a-bi tem coeficientes inteiros, u^{-1}\in\mathbb{Z}[i]. Assim u é inversível em \mathbb{Z}[i].
  • Conclusão: os inversíveis de \mathbb{Z}[i] são exatamente os elementos cuja norma vale 1.

Passo 5

Resolver a equação diofantina a^{2}+b^{2}=1 em inteiros e listar as unidades.
Resolução da equação:
  • Procuramos a,b\in\mathbb{Z} tal que a^{2}+b^{2}=1.
  • Os quadrados de inteiros não negativos possíveis menores ou iguais a 1 são 0 e 1.
  • As combinações possíveis são:
    • a^{2}=1, b^{2}=0 dando a=\pm1, b=0;
    • a^{2}=0, b^{2}=1 dando a=0, b=\pm1.
  • Não há outras possibilidades porque a^{2}\ge0 e b^{2}\ge0 e a soma deve ser 1.
  • Portanto os elementos de norma 1 são 1,\\\ -1,\\ i,\\\ -i,correspondendo a 1+0i,\\\ -1+0i,\\\ 0+1i,\\\ 0-1i.
Confirmação explícita dos inversos:
  • 1^{-1}=1.
  • (-1)^{-1}=-1 porque (-1)(-1)=1.
  • i^{-1}=-i porque i\cdot(-i)=-i^{2}=1.
  • (-i)^{-1}=i.

Resposta

\mathbb{Z}[i] é domínio de integridade.
Os inversíveis em \mathbb{Z}[i] são 1,-1,i,-i.

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