Determine o vetor u=(a, b, c) sabendo que u cdot v=1 e u cdot w=1 e que |u|=raiz22, onde v=(1,1,0) e w=(2,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede vec u=(a,b,c) tal que
vec ucdotvec v=1 com vec v=(1,1,0),
vec ucdotvec w=1 com vec w=(2,1,-1),
e lvertvec urvert=raiz22.
O conteúdo necessário é traduzir produtos escalares em equações lineares e usar a definição de norma de vetor.

Passo 2

Escrevendo os produtos escalares como sistema em a,b,c:
a + b = 1
2a + b - c = 1

Passo 3

Da primeira equação vem b = 1 - a. Substituindo em 2a + b - c = 1 obtém-se
2a + (1 - a) - c = 1 Longrightarrow c = a

Passo 4

Logo vec u=(a,,1-a,,a). A condição de norma lvertvec urvert^2=22 resulta em
a^2 + (1-a)^2 + a^2 = 22
que se simplifica a
3a^2 - 2a - 21 = 0

Passo 5

Resolvendo a quadrática: o discriminante é De<a = (-2)^2 - 4cdot3cdot(-21) = 256.
Logo
a = dfrac2 + 166 = 3 ou a = dfrac2 - 166 = -tfrac73.
  • Se a=3, então b=1-3=-2 e c=3, dando vec u=(3,-2,3).
  • Se a=-tfrac73, então b=1-(-tfrac73)=tfrac103 e c=-tfrac73, dando vec u=l(-tfrac73,tfrac103,-tfrac73r).

Resposta

vec u = (3,-2,3) ou vec u = l(-tfrac73,,tfrac103,,-tfrac73r).

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