Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais: f: R R. Quais conjuntos de funções abaixo são subespaços de V ?
(a) Todas as f contínuas.
(b) Todas as f ímpares, ou seja, f(-t)=-f(t)
(c) Todas as f tais que f(0)=f(1)
(d) Todos os polinômios.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e o que precisamos fazer.
O espaço vetorial V é o conjunto de todas as funções reais fcolonRtoR. Queremos verificar, para cada um dos conjuntos abaixo, se eles são subespaços de V.
Lembrando que um subconjunto Ssubset V é subespaço se e somente se:
1. A função zero (definida por 0(t)=0 para todo t) pertence a S.
2. S é fechado sob soma: se f,gin S então f+gin S.
3. S é fechado sob multiplicação escalar: se fin S e alphainR então alpha fin S.

Passo 2

Conjunto (a): todas as funções contínuasçõí.
1. A função zero é contínua, logo 0in S.
2. Soma de duas funções contínuas é contínua.
3. Multiplicação escalar de uma função contínua continua contínua.
Logo (a) é subespaço de V.

Passo 3

Conjunto (b): todas as funções ímpares, isto é, f(-t)=-f(t)çõíé.
1. A função zero satisfaz 0(-t)=-0(t), então 0 é ímpar.
2. Se f e g são ímpares, então
(f+g)(-t)=f(-t)+g(-t)=-f(t)-g(t)=-(f+g)(t),
portanto f+g é ímpar.
3. Se alphainR e f é ímpar, então
(alpha f)(-t)=alpha,f(-t)=alphal(-f(t)r)=-l(alpha f(t)r),
logo alpha f é ímpar.
Portanto (b) é subespaço.

Passo 4

Conjunto (c): todas as f tais que f(0)=f(1).
1. A função zero satisfaz 0(0)=0=0(1), logo 0in S.
2. Se f e g satisfazem f(0)=f(1) e g(0)=g(1), então
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=f(1)+g(1)=(f+g)(1),
então f+g está em S.
3. Se alphainR e f(0)=f(1), então
(alpha f)(0)=alpha,f(0)=alpha,f(1)=(alpha f)(1),
então alpha fin S.
Logo (c) é subespaço.

Passo 5

Conjunto (d): todos os polinômiosô.
1. O polinômio zero pertence ao conjunto.
2. Soma de polinômios é polinômio.
3. Multiplicação escalar de polinômio é polinômio.
Portanto (d) é subespaço.

Resposta

(a), (b), (c) e (d) são todos subespaços de V.

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