Seja
o espaço vetorial de todas as funções reais:
. Quais conjuntos de funções abaixo são subespaços de
?
(a) Todas as
contínuas.
(b) Todas as
ímpares, ou seja,
(c) Todas as
tais que
(d) Todos os polinômios.
(a) Todas as
(b) Todas as
(c) Todas as
(d) Todos os polinômios.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e o que precisamos fazer.
O espaço vetorial é o conjunto de todas as funções reais
. Queremos verificar, para cada um dos conjuntos abaixo, se eles são subespaços de
.
Lembrando que um subconjunto é subespaço se e somente se:
. A função zero (definida por
para todo
) pertence a
.
.
é fechado sob soma: se
então
.
.
é fechado sob multiplicação escalar: se
e
então
.
O espaço vetorial
Lembrando que um subconjunto
Passo 2
Conjunto (a):
.
. A função zero é contínua, logo
.
. Soma de duas funções contínuas é contínua.
. Multiplicação escalar de uma função contínua continua contínua.
Logo (a) é subespaço de .
Logo (a) é subespaço de
Passo 3
Conjunto (b):
.
. A função zero satisfaz
, então
é ímpar.
. Se
e
são ímpares, então
portanto
é ímpar.
. Se
e
é ímpar, então
logo
é ímpar.
Portanto (b) é subespaço.
Portanto (b) é subespaço.
Passo 4
Conjunto (c):
.
. A função zero satisfaz
, logo
.
. Se
e
satisfazem
e
, então
então
está em
.
. Se
e
, então
então
.
Logo (c) é subespaço.
Logo (c) é subespaço.
Passo 5
Conjunto (d):
.
. O polinômio zero pertence ao conjunto.
. Soma de polinômios é polinômio.
. Multiplicação escalar de polinômio é polinômio.
Portanto (d) é subespaço.
Portanto (d) é subespaço.
Resposta
(a), (b), (c) e (d) são todos subespaços de
.