Mostre que:
O conjunto n cdot Z é um ideal em Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
nZ = n,kmid kinZ
é um ideal no anel Z. O conteúdo que vamos usar é a definição de ideal em anel comutativo: precisamos provar que nZ é um subgrupo aditivo de Z e que é absorvente pela multiplicação por elementos de Z.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que nZ é um subgrupo aditivo de Z.
• (Elemento neutro) Como 0 = ncdot 0, temos 0in nZ.
• (Fechamento sob soma) Sejam a=n k e b=n k' em nZ. Então
a + b = n k + n k' = n(k + k')
e k+k' é inteiro, logo a+bin nZ.
• (Inverso aditivo) Se a=n k, então
- a = -n k = n(-k)
com -kinZ, logo -ain nZ.

Passo 3

Agora, mostramos a propriedade de ideal (absorção): para todo rinZ e todo a=n kin nZ, temos
rcdot a = rcdot(n k) = n,(r k)
como r kinZ, segue que r ain nZ. Em anel comutativo isso garante também a rin nZ.

Resposta

Portanto, o conjunto nZ satisfaz as condições de subgrupo aditivo e de absorção pela multiplicação, ou seja, é um ideal em Z.

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