Mostre que:
conjunto
é um ideal
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
é um ideal no anel
. O conteúdo que vamos usar é a definição de ideal em anel comutativo: precisamos provar que
é um subgrupo aditivo de
e que é absorvente pela multiplicação por elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver que
é um subgrupo aditivo de
.
• (Elemento neutro) Como
, temos
.
• (Fechamento sob soma) Sejam
e
em
. Então
e
é inteiro, logo
.
• (Inverso aditivo) Se
, então
com
, logo
.
Passo 3
Agora, mostramos a propriedade de ideal (absorção): para todo
e todo
, temos
como
, segue que
. Em anel comutativo isso garante também
.
Resposta
Portanto, o conjunto
satisfaz as condições de subgrupo aditivo e de absorção pela multiplicação, ou seja, é um ideal em
.