Mostre que dado um real positivo a, existe um inteiro positivo n tal que 1n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que para dado um real positivo a>0 existe um inteiro positivo n tal que 1/n < a. O conteúdo principal aqui é a propriedade arquimediana dos números reais, que diz que o conjunto dos inteiros positivos não é limitado superiormente. Vamos usar isso para encontrar n.

Passo 2

Como a>0, o número real 1/a também é positivo. Pela propriedade arquimediana, existe um inteiro n tal que
n > 1a

Passo 3

Como n e a são positivos, podemos inverter essa desigualdade sem mudar o sinal, obtendo
1n < a

Passo 4

Isso mostra exatamente que há um inteiro positivo n com 1/n < a.

Resposta

Basta escolher um inteiro n maior que 1/a; pela propriedade arquimediana tal n existe, e daí 1/n< a.

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