Mostre que dado um real positivo
, existe um inteiro positivo
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que para dado um real positivo
existe um inteiro positivo
tal que
. O conteúdo principal aqui é a propriedade arquimediana dos números reais, que diz que o conjunto dos inteiros positivos não é limitado superiormente. Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 2
Como
, o número real
também é positivo. Pela propriedade arquimediana, existe um inteiro
tal que
Passo 3
Como
e
são positivos, podemos inverter essa desigualdade sem mudar o sinal, obtendo
Passo 4
Isso mostra exatamente que há um inteiro positivo
com
.
Resposta
Basta escolher um inteiro
maior que
; pela propriedade arquimediana tal
existe, e daí
.