Num corpo ordenado
, prove que
se, e só se,
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo ordenado
e queremos provar que
se, e somente se,
. Isso envolve conceitos de corpos ordenados e propriedades dos quadrados dos elementos nesse corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um corpo ordenado, todo quadrado de um elemento é sempre maior ou igual a zero. Ou seja, para qualquer
, temos
e
.
Passo 3
Agora, se
, como cada termo é não negativo, a única maneira de a soma ser zero é se ambos os termos forem zero individualmente. Então, temos:
Passo 4
Sabemos que em um corpo, se o quadrado de um elemento é zero, então o próprio elemento deve ser zero. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos provar a conversão. Se
e
, então claramente:
Resposta
Portanto, mostramos que
se, e somente se,
.