Num corpo ordenado F, prove que s^2+t^2=0 se, e só se, s=t=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo ordenado e queremos provar que se, e somente se, . Isso envolve conceitos de corpos ordenados e propriedades dos quadrados dos elementos nesse corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um corpo ordenado, todo quadrado de um elemento é sempre maior ou igual a zero. Ou seja, para qualquer , temos e .

Passo 3

Agora, se s^2 = 0 e t^2 = 0 , como cada termo é não negativo, a única maneira de a soma ser zero é se ambos os termos forem zero individualmente. Então, temos:

Passo 4

Sabemos que em um corpo, se o quadrado de um elemento é zero, então o próprio elemento deve ser zero. Portanto:
s = 0 e t = 0

Passo 5

Agora, vamos provar a conversão. Se s^2 + t^2 = 0^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0 e , então claramente:

Resposta

Portanto, mostramos que se, e somente se, .

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