Mostre que o conjunto dos números complexos C com a adição usual e a multiplicação alpha u usual entre um número real alpha e um número complexo u=(a+b i) é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. Nesta notação a e b são números reais e i^2=-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que C, com a adição usual e a multiplicação de um real alpha por um complexo u=a+bi, é um espaço vetorial sobre R.
Precisamos verificar que:
  1. (C,+) é um grupo abeliano;
  2. A multiplicação por escalar alphainR satisfaz os axiomas de espaço vetorial:
    a) alpha(u+v)=alphau+alphav
    b) (alpha+beta)u=alphau+betau
    c) alpha(betau)=(alphabeta)u
    d) 1u=u.

Passo 2

Mostramos que (C,+) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: se u=a+bi e v=c+di com a,b,c,dinR,
    então u+v=(a+c)+(b+d)iinC
  • Associatividade e comutatividade: seguem pois a adição em R é associativa e comutativa, coordenada a coordenada.
  • Elemento neutro: 0=0+0i satisfaz u+0=u.
  • Inverso aditivo: para u=a+bi, o inverso é -u=(-a)+(-b)i, pois
    u+(-u)=(a-a)+(b-b)i=0+0i.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar: dado alphainR e u=a+bi,
alpha,u=alpha a+(alpha b)iinC,
já que alpha a e alpha b são reais.

Passo 4

Verificamos os axiomas de compatibilidade:
a) Distributividade sobre soma de vetores:
alpha(u+v) =alphal((a+c)+(b+d)ir) =(alpha a+alpha c)+(alpha b+alpha d)i =alphau+alphav
b) Distributividade sobre soma de escalares:
(alpha+beta)u =(alpha+beta)a+(alpha+beta)b,i =(alpha a+beta a)+(alpha b+beta b)i =alphau+betau
c) Associatividade de escalares:
alpha(betau) =alphal(beta a+beta b,ir) =(alphabeta)a+(alphabeta)b,i =(alphabeta)u
d) Elemento neutro do corpo:
1u=1cdot a+1cdot b,i=a+bi=u

Passo 5

Já cobrimos todos os axiomas: (C,+) é grupo abeliano e a multiplicação por escalar satisfaz as quatro propriedades necessárias.

Resposta

Portanto, C é de fato um espaço vetorial sobre R.

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