Mostre que o conjunto dos números complexos
com a adição usual e a multiplicação
usual entre um número real
e um número complexo
é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. Nesta notação
e
são números reais e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, com a adição usual e a multiplicação de um real
por um complexo
, é um espaço vetorial sobre
.
Precisamos verificar que:
Precisamos verificar que:
-
é um grupo abeliano; - A multiplicação por escalar
satisfaz os axiomas de espaço vetorial:
a)
b)
c)
d).
Passo 2
Mostramos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e com ,
então - Associatividade e comutatividade: seguem pois a adição em
é associativa e comutativa, coordenada a coordenada. - Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso aditivo: para
, o inverso é , pois
.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação por escalar: dado
e
,
já que
e
são reais.
Passo 4
Verificamos os axiomas de compatibilidade:
a) Distributividade sobre soma de vetores:
a) Distributividade sobre soma de vetores:
b) Distributividade sobre soma de escalares:
c) Associatividade de escalares:
d) Elemento neutro do corpo:
Passo 5
Já cobrimos todos os axiomas:
é grupo abeliano e a multiplicação por escalar satisfaz as quatro propriedades necessárias.
Resposta
Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
.