Partindo dos axiomas de corpo (vide notas de aula e Apostol Vol. 1), demonstre os seguintes teoremas, com a, b e c elementos do corpo:
Se a neq 0, então (a^-1)^-1=a

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em qualquer corpo, se aneq0 então
l(a^-1r)^-1=a
Vamos usar os axiomas de corpo relativos à existência e unicidade do inverso multiplicativo.

Passo 2

Pelo axioma do inverso multiplicativo, para todo elemento não-nulo x existe um único x^-1 tal que
xcdot x^-1=1 e x^-1cdot x=1,
onde 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Passo 3

Aplicando esse axioma a a, já sabemos que
acdot a^-1=1 e a^-1cdot a=1
Isso mostra que a é um inverso multiplicativo de a^-1.

Passo 4

Pelo axioma de unicidade do inverso multiplicativo, o inverso de a^-1 é único. Como a satisfaz as duas equações acima, ele é precisamente esse inverso. Portanto
l(a^-1r)^-1=a

Resposta

(a^-1)^-1=a

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