Partindo dos axiomas de corpo (vide notas de aula e Apostol Vol. 1), demonstre os seguintes teoremas, com
e
elementos do corpo:
Se
, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em qualquer corpo, se
então
Vamos usar os axiomas de corpo relativos à existência e unicidade do inverso multiplicativo.
Passo 2
Pelo axioma do inverso multiplicativo, para todo elemento não-nulo
existe um único
tal que
onde
é o elemento neutro da multiplicação.
Passo 3
Aplicando esse axioma a
, já sabemos que
Isso mostra que
é um inverso multiplicativo de
.
Passo 4
Pelo axioma de unicidade do inverso multiplicativo, o inverso de
é único. Como
satisfaz as duas equações acima, ele é precisamente esse inverso. Portanto