Mostre que o conjunto R^n, nas n-uplas de números reais, com as definições usuais de adição e multiplicação por reais, é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R^n, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo R. Vamos verificar cada propriedade a partir da definição dessas operações.

Passo 2

Definimos para quaisquer vetores
u=(u1,dots,un), v=(v1,dots,vn)inR^n
e qualquer escalar alphainR:
u+v = (,u1+v1,dots,un+vn,),
alpha,u = (alpha,u1,dots,alpha,un)

Passo 3

Fechamento sob soma e multiplicação por escalar:
Como soma e produto em R permanecem em R, temos
u+vinR^n e alpha,uinR^n
Logo, R^n é fechado nessas operações.

Passo 4

Axiomas relativos à adição:
  1. Comutatividade: u+v = (ui+vi) = (vi+ui) = v+u
  2. Associatividade: (u+v)+w = l((ui+vi)+wir) = l(ui+(vi+wi)r) = u+(v+w)
  3. Existência do vetor nulo: 0 = (0,dots,0)e u+0 = (ui+0) = u
  4. Existência de inverso aditivo: -u = (-u1,dots,-un) e u+(-u) = (ui + (-ui)) = 0

Passo 5

Axiomas relativos à multiplicação por escalar (parte I):
  1. Identidade escalar: 1cdot u = (1cdot ui) = u
  2. Associatividade entre escalares: alpha,(beta,u) = l(alpha,(beta,ui)r) = l((alphabeta),uir) = (alphabeta),u

Passo 6

Distributividades (parte II):
  1. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: alpha,(u+v) = l(alpha,(ui+vi)r) = l(alpha,ui + alpha,vir) = alpha,u + alpha,v
  2. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (alpha+beta),u = l((alpha+beta),uir) = l(alpha,ui + beta,uir) = alpha,u + beta,u

Resposta

Como todas as propriedades exigidas (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso aditivo, identidade escalar, associatividade e distributividades) estão satisfeitas, concluímos que R^n é um espaço vetorial sobre R.

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