Mostre que o conjunto
, nas
-uplas de números reais, com as definições usuais de adição e multiplicação por reais, é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo
. Vamos verificar cada propriedade a partir da definição dessas operações.
Passo 2
Definimos para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
Passo 3
Fechamento sob soma e multiplicação por escalar:
Como soma e produto em permanecem em
, temos
Como soma e produto em
Logo,
é fechado nessas operações.
Passo 4
Axiomas relativos à adição:
- Comutatividade:
- Associatividade:
- Existência do vetor nulo:
- Existência de inverso aditivo:
Passo 5
Axiomas relativos à multiplicação por escalar (parte I):
- Identidade escalar:
- Associatividade entre escalares:
Passo 6
Distributividades (parte II):
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
- Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
Resposta
Como todas as propriedades exigidas (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso aditivo, identidade escalar, associatividade e distributividades) estão satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.