Mostre que o conjunto dos números naturais é um conjunto discreto. (2,0)

Passo 1

Vamos trabalhar na reta real \mathbb{R} com a topologia usual. Um subconjunto A\subset\mathbb{R} é discreto se, para cada ponto x\in A, existe um aberto U\subset\mathbb{R} tal que
U\cap A=\{x\}.
Vamos mostrar que A=\mathbb{N} satisfaz essa propriedade.

Passo 2

Seja n\in\mathbb{N} arbitrário. Considere o intervalo
\bigl(n-\tfrac12,\;n+\tfrac12\bigr).
Esse é um aberto de \mathbb{R}. Se k\in\mathbb{N} e k\neq n, então \lvert k-n\rvert\ge1, logo
k\notin\bigl(n-\tfrac12,\;n+\tfrac12\bigr).
Portanto
\bigl(n-\tfrac12,\;n+\tfrac12\bigr)\cap\mathbb{N}=\{n\}.

Passo 3

Como fizemos para um n qualquer, concluímos que todo elemento de \mathbb{N} é isolado por um aberto que o contém e não contém outros naturais. Isso é exatamente a definição de conjunto discreto.

Resposta

O conjunto \mathbb{N} é discreto em \mathbb{R} porque, para cada n\in\mathbb{N}, o intervalo aberto \bigl(n-\tfrac12,n+\tfrac12\bigr) intersecta \mathbb{N} apenas em \{n\}.

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