Mostre que o conjunto dos números naturais é um conjunto discreto.
Passo 1
Vamos trabalhar na reta real
com a topologia usual. Um subconjunto
é discreto se, para cada ponto
, existe um aberto
tal que
Vamos mostrar que
satisfaz essa propriedade.
Passo 2
Seja
arbitrário. Considere o intervalo
Esse é um aberto de
. Se
e
, então
, logo
Portanto
Passo 3
Como fizemos para um
qualquer, concluímos que todo elemento de
é isolado por um aberto que o contém e não contém outros naturais. Isso é exatamente a definição de conjunto discreto.
Resposta
O conjunto
é discreto em
porque, para cada
, o intervalo aberto
intersecta
apenas em
.