Mostre que o conjunto dos números racionais tem interior vazio. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o interior de \mathbb{Q} (o conjunto dos números racionais) é vazio quando consideramos \mathbb{R} com a métrica usual. Vamos usar a definição de interior de um conjunto em topologia métrica e o fato de que os números irracionais são densos em \mathbb{R}.

Passo 2

Por definição, um ponto x\in \mathbb{Q} pertence ao interior de \mathbb{Q} se existe \varepsilon>0 tal que a bola aberta
B(x,\varepsilon) = (\,x-\varepsilon,\,x+\varepsilon\,)
está contida em \mathbb{Q}.
Sabemos que os irracionais são densos em \mathbb{R}, ou seja, para qualquer intervalo aberto (a,b)\subset\mathbb{R} existe pelo menos um número irracional y\in (a,b).

Passo 3

Suponha, por absurdo, que exista x\in \mathbb{Q} e \varepsilon>0 tais que
(x-\varepsilon,\,x+\varepsilon)\subset \mathbb{Q}.
Pelo fato da densidade dos irracionais, nesse mesmo intervalo existe um irracional y\notin \mathbb{Q}. Isso contraria a suposição de que todo ponto de (x-\varepsilon,x+\varepsilon) estivesse em \mathbb{Q}.

Passo 4

Como não existe nenhum x\in \mathbb{Q} que permita um intervalo aberto inteiro contido em \mathbb{Q}, concluímos que o interior de \mathbb{Q} é o conjunto vazio.

Resposta

O interior de \mathbb{Q} é \varnothing.

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