Mostre que o conjunto dos números racionais tem interior vazio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o interior de
(o conjunto dos números racionais) é vazio quando consideramos
com a métrica usual. Vamos usar a definição de interior de um conjunto em topologia métrica e o fato de que os números irracionais são densos em
.
Passo 2
Por definição, um ponto
pertence ao interior de
se existe
tal que a bola aberta
está contida em
.
Sabemos que os irracionais são densos em , ou seja, para qualquer intervalo aberto
existe pelo menos um número irracional
.
Sabemos que os irracionais são densos em
Passo 3
Suponha, por absurdo, que exista
e
tais que
Pelo fato da densidade dos irracionais, nesse mesmo intervalo existe um irracional
. Isso contraria a suposição de que todo ponto de
estivesse em
.
Passo 4
Como não existe nenhum
que permita um intervalo aberto inteiro contido em
, concluímos que o interior de
é o conjunto vazio.
Resposta
O interior de
é
.