Mostre que o conjunto dos números naturais é um conjunto discreto. (2,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos números naturais \mathbb{N}, visto como subespaço de \mathbb{R} com a topologia usual (ou métrica d(x,y)=|x-y|), é um espaço discreto. Em topologia, isso significa que cada ponto de \mathbb{N} é isolado, i.e., cada singleton \{n\} deve ser aberto em \mathbb{N}.

Passo 2

Lembremos da definição: um espaço topológico X é discreto se, para todo x\in X, existe um aberto U\subset X tal que
U=\{x\}.
Como \mathbb{N} herda a topologia de \mathbb{R}, um subconjunto U\subset\mathbb{N} é aberto em \mathbb{N} se e somente se existe um aberto V\subset\mathbb{R} com
U = V\cap \mathbb{N}.

Passo 3

Fixe um n\in\mathbb{N}. Considere o intervalo aberto em \mathbb{R}
V = \bigl(n - \tfrac12,\;n + \tfrac12\bigr).
Claro que V é aberto em \mathbb{R}. Agora observe que, se m\in\mathbb{N} e m\neq n, então |m-n|\ge1, de modo que m\notin V. Logo
V\cap \mathbb{N} = \{n\}.
Isso mostra que \{n\} é aberto em \mathbb{N}.

Passo 4

Como fizemos essa construção para um n arbitrário de \mathbb{N}, concluímos que todo singleton \{n\} é aberto em \mathbb{N}. Portanto \mathbb{N} tem a topologia discreta.

Resposta

O conjunto dos números naturais \mathbb{N}, com a topologia induzida de \mathbb{R}, é um espaço discreto.

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