Mostre que o conjunto dos números naturais é um conjunto discreto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos números naturais
, visto como subespaço de
com a topologia usual (ou métrica
), é um espaço discreto. Em topologia, isso significa que cada ponto de
é isolado, i.e., cada singleton
deve ser aberto em
.
Passo 2
Lembremos da definição: um espaço topológico
é discreto se, para todo
, existe um aberto
tal que
Como
herda a topologia de
, um subconjunto
é aberto em
se e somente se existe um aberto
com
Passo 3
Fixe um
. Considere o intervalo aberto em
Claro que
é aberto em
. Agora observe que, se
e
, então
, de modo que
. Logo
Isso mostra que
é aberto em
.
Passo 4
Como fizemos essa construção para um
arbitrário de
, concluímos que todo singleton
é aberto em
. Portanto
tem a topologia discreta.
Resposta
O conjunto dos números naturais
, com a topologia induzida de
, é um espaço discreto.