Para cada uma das funções de transferência mostradas a seguir, determine as posições dos polos e dos zeros, represente-os graficamente no plano s e, em seguida, escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau sem resolver para a transformada inversa de Laplace. Declare a natureza de cada resposta (superamortecida, subamortecida, e assim por diante). [Seções: 4.3, 4.4.]
T(s)=\frac{5}{(s+3)(s+6)}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
T(s)=\frac{5}{(s+3)(s+6)}
e pede: (i) posições de polos e zeros, (ii) representação gráfica no plano s, (iii) expressão geral da resposta ao degrau sem efetuar a transformada inversa de Laplace e (iv) classificação da natureza da resposta (ex.: superamortecida, subamortecida etc.). Este exercício envolve análise de sistemas lineares no domínio de Laplace e resposta a entradas em degrau.

Passo 2

Para encontrar os zeros resolvemos 5=0, o que não tem solução, portanto não há zeros finitos.
Para os polos resolvemos
(s+3)(s+6)=0
e obtemos
s_1=-3,\quad s_2=-6.

Passo 3

A representação no plano s consiste em marcar cruzes ( \times) nos polos. Assim, colocamos cruzes em (-3,0) e (-6,0) ao longo do eixo real. Como não há zeros finitos, não há marcadores adicionais para zeros.

Passo 4

A resposta ao degrau unitário u(t) em Y(s) é dada por
Y(s)=T(s)\cdot\frac{1}{s}=\frac{5}{s(s+3)(s+6)}.
Para escrever a forma geral sem calcular a inversa, fazemos frações parciais:
Y(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+6},
o que, em domínio do tempo, corresponde à forma
y(t)=A + B\,e^{-3t}+C\,e^{-6t},\quad t\ge0,
sem necessidade de determinar explicitamente A, B e C.

Passo 5

Como os polos são reais e distintos, a resposta ao degrau é superamortecida (overdamped), pois não há oscilações e cada termo decai exponencialmente de forma independente.

Resposta

Zeros finitos: nenhum
Polos: s_1=-3 e s_2=-6
Representação no plano s: polos marcados em (-3,0) e (-6,0) com cruzes; sem zeros
Expressão da resposta ao degrau:
Y(s)=\frac{5}{s(s+3)(s+6)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3}+\frac{C}{s+6} \quad\Longrightarrow\quad y(t)=A+B\,e^{-3t}+C\,e^{-6t},\;t\ge0
Natureza da resposta: superamortecida.

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