Mostre que o conjunto (u1, u2, u3), onde
u1=(l 1 1 0 ), u2=(l 0 1 1 ), u3=(c -1 1 0 )
é linearmente independente. Exiba o vetor v=(l1 1 1) como uma combinaçào linear de u1, u2 e u3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que u1,u2,u3subsetR^3 é linearmente independente e (ii) escrever v=(1,1,1)^top como combinação linear de u1,u2,u3. Vamos usar o método de equacionar coeficientes para isso.

Passo 2

Para testar independência, suponha que existam escalares alpha1,alpha2,alpha3 tais que
alpha1,u1 + alpha2,u2 + alpha3,u3 = 000
Escrevendo coordenada a coordenada:
alpha1 - alpha3 = 0, alpha1 + alpha2 + alpha3 = 0, alpha2 = 0

Passo 3

Da terceira equação vem alpha2=0. Substituindo em alpha1 - alpha3=0 e em alpha1+alpha3=0 obtemos
alpha1=alpha3, alpha1+alpha3=0;Longrightarrow;2alpha1=0;Longrightarrow;alpha1=alpha3=0
Logo a única solução é trivial alpha1=alpha2=alpha3=0.

Passo 4

Como o único conjunto de coeficientes que anula alpha1u1+alpha2u2+alpha3u3 é o trivial, concluímos que u1,u2,u3 são linearmente independentes.

Passo 5

Agora queremos
Das coordenadas segue o sistema
Da última equação e levam a e .

Resposta

O conjunto (u1,u2,u3) é linearmente independente e
v = 12,u1 + 1,u2 - 12,u3

Exercícios relacionados