Considere o plano alpha de R^3 de equação 2 x-3 y+5 z=0. Observe que, como esse plano passa pela origem, ele é um subespaço de R^3.
(a) Determine uma base ortogonal V1, V2, V3 de R^3 tal que V1, V2 é uma base ortogonal do plano alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de R^3 definido por
2x-3y+5z=0,
que é um subespaço vetorial porque passa pela origem. Queremos encontrar um conjunto ortogonal V1,V2,V3 em R^3 tal que V1,V2 seja uma base ortogonal de alpha e V3 seja ortogonal a todo vetor de alpha. Para isso usaremos o produto escalar e o método de Gram–Schmidt.

Passo 2

Primeiro escolhemos um vetor normal ao plano alpha. Como a equação é 2x-3y+5z=0, um vetor normal é
V3 = (2,,-3,,5)
Esse vetor é ortogonal a qualquer vetor do plano pois satisfaz a condição do plano.

Passo 3

Agora precisamos de dois vetores independentes que satisfaçam 2x-3y+5z=0. Vamos parametrizar: seja (x,y,z) do plano, então z=(3y-2x)/5. Escolhemos dois vetores “fáceis” desse plano. Por exemplo, tomemos
W1 = (3,,2,,0), W2 = (5,,0,,-2),
pois em cada caso verifica-se
2cdot3 -3cdot2 +5cdot0 =6-6+0=0, 2cdot5 -3cdot0 +5cdot(-2)=10-0-10=0
Logo W1,W2inalpha.

Passo 4

Os vetores W1 e W2 ainda não são ortogonais entre si, pois
W1cdot W2 = 3cdot5 + 2cdot0 + 0cdot(-2)=15neq0
Aplicamos Gram–Schmidt para obter V1 e V2 ortogonais:
  1. Tomamos V1 = W1 = (3,,2,,0)
  2. Definimos projV1(W2) = W2cdot V1V1cdot V1,V1 = 153^2+2^2+0^2,(3,2,0) = 1513,(3,2,0) = l(4513,,3013,,0r)
  3. Então V2 = W2 - projV1(W2) = l(5,0,-2r) - l(tfrac4513,,tfrac3013,,0r) = l(tfrac65-4513,,tfrac0-3013,,-2r) = l(tfrac2013,,-tfrac3013,,-2r)
Verifique que V2cdot V1=0 e também 2V2x-3V2y+5V2z=0, garantindo que V2inalpha.

Resposta

Uma base ortogonal de R^3 que atende o pedido é
V1 = (3,,2,,0), V2 = l(tfrac2013,,-tfrac3013,,-2r), V3 = (2,,-3,,5)
Aqui V1,V2 é ortogonal e gera o plano alpha, e V3 é ortogonal a todo vetor de alpha.

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