Considere o plano
de
de equação
. Observe que, como esse plano passa pela origem, ele é um subespaço de
.
(a) Determine uma base ortogonal
de
tal que
é uma base ortogonal do plano
.
(a) Determine uma base ortogonal
Passo 1
O enunciado dá o plano
de
definido por
que é um subespaço vetorial porque passa pela origem. Queremos encontrar um conjunto ortogonal
em
tal que
seja uma base ortogonal de
e
seja ortogonal a todo vetor de
. Para isso usaremos o produto escalar e o método de Gram–Schmidt.
Passo 2
Primeiro escolhemos um vetor normal ao plano
. Como a equação é
, um vetor normal é
Esse vetor é ortogonal a qualquer vetor do plano pois satisfaz a condição do plano.
Passo 3
Agora precisamos de dois vetores independentes que satisfaçam
. Vamos parametrizar: seja
do plano, então
. Escolhemos dois vetores “fáceis” desse plano. Por exemplo, tomemos
pois em cada caso verifica-se
Logo
.
Passo 4
Os vetores
e
ainda não são ortogonais entre si, pois
Aplicamos Gram–Schmidt para obter
e
ortogonais:
- Tomamos
- Definimos
- Então
Verifique que
e também
, garantindo que
.
Resposta
Uma base ortogonal de
que atende o pedido é
Aqui
é ortogonal e gera o plano
, e
é ortogonal a todo vetor de
.