Mostre que o conjunto S=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) é uma base de R^3. Exprima o vetor (-13, 5,-1) como combinação linear dos elementos dessa base.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que o conjunto S=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) é base de R^3 e depois escrever o vetor l(-tfrac13,5,-1r) como combinação linear desses vetores. A matéria envolve o conceito de base (linearmente independente e geradora) e solução de sistema linear.

Passo 2

Como são três vetores em R^3, basta provar que eles são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:

Passo 3

M = 1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3

Passo 4

Aplicando a regra de Sarrus, o determinante fica:

Passo 5

det(M) = 1cdot(3cdot3 - 1cdot2) - 1cdot(2cdot3 - 1cdot0) + 0 = 1cdot7 - 1cdot6 = 1

Passo 6

Como det(M)=1neq0, os vetores são linearmente independentes e formam base de R^3.

Passo 7

Agora, para expressar l(-tfrac13,5,-1r) como combinação linear, buscamos x,y,z tais que

Passo 8

x + y = -tfrac13, 2x + 3y + z = 5, 2y + 3z = -1

Passo 9

Da primeira equação vem y = -tfrac13 - x. Substituindo na terceira:

Passo 10

2(-tfrac13 - x) + 3z = -1

Passo 11

fica

Passo 12

-2x - tfrac23 + 3z = -1 ;Rightarrow; -2x + 3z = -tfrac13

Passo 13

Na segunda equação, com y:

Passo 14

2x + 3(-tfrac13 - x) + z = 5

Passo 15

torna-se

Passo 16

-x + z = 6 ;Rightarrow; z = x + 6

Passo 17

Substituindo z em -2x + 3z = -tfrac13 obtemos x = -tfrac553. Daí y = 18 e z = -tfrac373.

Resposta

[\n-\frac{55}{3}(1,2,0) + 18(1,3,2) - \frac{37}{3}(0,1,3)\n]

Exercícios relacionados