(a) Mostre que o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau menor ou igual a
é um espaço vetorial real, com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação de um escalar por um polinômio:
(b) É verdade que o subconjunto dos polinômios de grau exatamente
é um espaço vetorial com as mesmas operações? Justifique.
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação escalar e pede para mostrar que
é um espaço vetorial real. No item (b) pergunta se o subconjunto
também é espaço vetorial. O conteúdo é a verificação das propriedades que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é fechado sob soma e multiplicação escalar e que a soma forma um grupo abeliano.
- Fechamento na soma: Se
então
- Existência do elemento neutro: o polinômio zero
satisfaz
.
3. Existência de inversos: o inverso aditivo de é
3. Existência de inversos: o inverso aditivo de
pois
.
4. Associatividade e comutatividade da soma seguem diretamente da associatividade e comutatividade da soma em coordenada a coordenada.
4. Associatividade e comutatividade da soma seguem diretamente da associatividade e comutatividade da soma em
Passo 3
Agora verificamos as propriedades da multiplicação escalar em relação à soma e ao corpo
: sejam
e
.
- Distributividade escalar-soma de vetores:
- Distributividade soma de escalares-vetor:
- Compatibilidade de escalares:
- Elemento unidade do corpo:
Passo 4
Como todas as oito propriedades (fechamento, grupo abeliano sob soma, fechamento na multiplicação escalar e as quatro compatibilidades acima) estão satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 5
No caso do conjunto
observamos que o polinômio zero não pertence a
e, além disso, se tomarmos
temos
. Logo,
não é fechado sob soma nem contém o vetor nulo, portanto não é um espaço vetorial.
Resposta
(a)
é um espaço vetorial real.
(b) O subconjunto dos polinômios de grau exatamente não é um espaço vetorial, pois não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição.
(b) O subconjunto dos polinômios de grau exatamente