(a) Mostre que o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau menor ou igual a k é um espaço vetorial real, com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação de um escalar por um polinômio:
\begin{aligned} & \left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{k} x^{k}\right)+\left(b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{k} x^{k}\right) \\\ & \quad:=\left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right) x+\left(a_{2}+b_{2}\right) x^{2}+\cdots+\left(a_{k}+b_{k}\right) x^{k} \\\ & \alpha\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{k} x^{k}\right) \\\ & \quad:=\left(\alpha a_{0}\right)+\left(\alpha a_{1}\right) x+\left(\alpha a_{2}\right) x^{2}+\cdots+\left(\alpha a_{k}\right) x^{k} \end{aligned}
(b) É verdade que o subconjunto dos polinômios de grau exatamente k é um espaço vetorial com as mesmas operações? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
P_k(\mathbb{R})=\bigl\{\,p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{k}x^{k}\mid a_{i}\in\mathbb{R}\bigr\}
com as operações usuais de soma de polinômios e multiplicação escalar e pede para mostrar que P_k(\mathbb{R}) é um espaço vetorial real. No item (b) pergunta se o subconjunto
Q_k=\bigl\{\,p\in P_k(\mathbb{R})\mid\deg(p)=k\bigr\}
também é espaço vetorial. O conteúdo é a verificação das propriedades que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Mostramos primeiro que P_k(\mathbb{R}) é fechado sob soma e multiplicação escalar e que a soma forma um grupo abeliano.
  1. Fechamento na soma: Se
p(x)=a_{0}+\cdots+a_{k}x^{k},\quad q(x)=b_{0}+\cdots+b_{k}x^{k},
então
p+q=(a_{0}+b_{0})+\cdots+(a_{k}+b_{k})x^{k}\in P_k(\mathbb{R}).
  1. Existência do elemento neutro: o polinômio zero
0(x)=0+0x+\cdots+0x^{k}
satisfaz p+0=p.
3. Existência de inversos: o inverso aditivo de p(x) é
-p(x)=(-a_{0})+(-a_{1})x+\cdots+(-a_{k})x^{k},
pois p+(-p)=0.
4. Associatividade e comutatividade da soma seguem diretamente da associatividade e comutatividade da soma em \mathbb{R} coordenada a coordenada.

Passo 3

Agora verificamos as propriedades da multiplicação escalar em relação à soma e ao corpo \mathbb{R}: sejam p,q\in P_k(\mathbb{R}) e \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
  1. Distributividade escalar-soma de vetores:
\alpha(p+q)=\alpha\bigl((a_{i}+b_{i})x^{i}\bigr) =\bigl(\alpha(a_{i}+b_{i})\bigr)x^{i} =(\alpha a_{i}+\alpha b_{i})x^{i} =\alpha p+\alpha q.
  1. Distributividade soma de escalares-vetor:
(\alpha+\beta)p=(\alpha+\beta)a_{i}\,x^{i} =(\alpha a_{i}+\beta a_{i})x^{i} =\alpha p+\beta p.
  1. Compatibilidade de escalares:
(\alpha\beta)p=(\alpha\beta)a_{i}\,x^{i} =\alpha\bigl(\beta a_{i}\bigr)x^{i} =\alpha(\beta p).
  1. Elemento unidade do corpo:
1\cdot p=1\cdot a_{i}\,x^{i}=a_{i}\,x^{i}=p.

Passo 4

Como todas as oito propriedades (fechamento, grupo abeliano sob soma, fechamento na multiplicação escalar e as quatro compatibilidades acima) estão satisfeitas, concluímos que P_k(\mathbb{R}) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 5

No caso do conjunto
Q_k=\{p\in P_k(\mathbb{R})\mid\deg(p)=k\},
observamos que o polinômio zero não pertence a Q_k e, além disso, se tomarmos
p(x)=x^{k}\in Q_k \quad\text{e}\quad q(x)=-x^{k}\in Q_k,
temos p+q=0\notin Q_k. Logo, Q_k não é fechado sob soma nem contém o vetor nulo, portanto não é um espaço vetorial.

Resposta

(a) P_k(\mathbb{R}) é um espaço vetorial real.
(b) O subconjunto dos polinômios de grau exatamente k não é um espaço vetorial, pois não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição.

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