Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} :
X=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y-z=2\right\}.

Passo 1

O enunciado define
X = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 2\}
e pede para verificar se X é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para que X seja subespaço vetorial de \mathbb{R}^3, é preciso verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de \mathbb{R}^3 pertence a X.
  2. X é fechado sob soma de vetores.
  3. X é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo na equação x+y-z=2 obtemos
0 + 0 - 0 = 0 \neq 2,
logo (0,0,0)\notin X.

Resposta

X não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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