Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) ?
V=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a, b, c, d \in \mathbb{R}, b=c+1\right\}

Passo 1

O enunciado define
V = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & d\end{pmatrix}\;;\;a,b,c,d\in\mathbb{R},\;b=c+1\right\}
e pede para verificar se V é subespaço de M(2,2). Para isso, basta checar três propriedades:
  1. \mathbf{0}\in V.
  2. Fechamento em soma.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar.]

Passo 2

Testamos a matriz zero
\mathbf{0} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Para ter \mathbf{0}\in V precisaríamos b=c+1 com b=0 e c=0, isto é,
0 = 0 + 1,
o que é absurdo. Logo \mathbf{0}\notin V e a primeira condição falha, bastando isso para concluir que V não é subespaço.]

Resposta

V não é subespaço de M(2,2).

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