Mostre que o conjunto dos quadrados perfeitos,
, é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto dos quadrados perfeitos, $ S = {n^{2} \mid n \in \mathbb{N}} $, é enumerável. Basicamente, estamos trabalhando com teoria dos conjuntos aqui, e vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável ou contável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado enumerável se conseguimos listar todos os seus elementos em uma sequência, ou seja, se existe uma maneira de associar cada elemento do conjunto com um número natural único. Isso é importante porque nos mostra que o conjunto tem o mesmo “tamanho” que os números naturais, mesmo que seja infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto dos quadrados perfeitos: $ S = {1, 4, 9, 16, 25, \dots} $. Cada elemento desse conjunto pode ser escrito como $ n^{2} $, onde $ n $ é um número natural. Para mostrar que $ S $ é enumerável, precisamos criar uma correspondência entre cada número natural e um quadrado perfeito.
Passo 4
Vamos definir uma função que associa cada número natural $ n $ ao seu quadrado $ n^{2} $. Ou seja, temos a função $ f: \mathbb{N} \rightarrow S $ onde $ f(n) = n^{2} $. Essa função é injetora, pois cada $ n $ gera um único $ n^{2} $, e sobrerjetora, já que todo quadrado perfeito em $ S $ é a imagem de algum $ n $ em $ \mathbb{N} $.
Passo 5
Como conseguimos estabelecer uma correspondência biunívoca (uma para uma e sobre) entre
e $ S $, isso significa que $ S $ tem a mesma cardinalidade que os números naturais. Portanto, $ S $ é um conjunto enumerável.
Resposta
O conjunto dos quadrados perfeitos $ S = {n^{2} \mid n \in \mathbb{N}} $ é, de fato, enumerável.