Problemas de valor inicial (PVI) säo aqueles em que se conhecem as condiçöes de início de um sistema e se quer conhecer seu comportamento no decorrer do processo ou do tempo.
Dado o seguinte PVI:
y^prime=y-t^2+1, com 0 <= t <= 2 e y(0)=0,5
Use o método de Euler, com h=0 , 2, para obter uma solução aproximada de y(2), e assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A 5,0787635.
B 4,8776599.
C 4,8657845.
D 4,3983223.
E 3,1132343.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) onde queremos descobrir como a função $ y(t) $ se comporta ao longo do tempo. O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial:
y(t)
com a condição inicial $ y(0) = 0,5 $ e queremos encontrar $ y(2) $. Para resolver isso, vamos usar o Método de Euler com um passo $ h = 0,2 $. Esse método nos ajuda a aproximar a solução de equações diferenciais de forma bem prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Método de Euler faz. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. A ideia é começar com o valor inicial conhecido e, a cada passo, calcular o próximo valor de $ y $ usando a inclinação (derivada) no ponto atual.
A fórmula do Método de Euler é:
y
onde:
  • $ y_n $ é o valor atual de $ y $,
  • $ h $ é o passo (neste caso, 0,2),
  • $ f(t_n, y_n) $ é a derivada $ y’ $ avaliada no ponto atual.

Passo 3

Vamos começar a aplicar o Método de Euler passo a passo. Nosso objetivo é chegar até $ t = 2 $, então vamos precisar de $ \frac{2}{0,2} = 10 $ passos.
Inicialmente:
  • $ t_0 = 0 $
  • $ y_0 = 0,5 $
Vamos calcular cada $ y_n $ até chegar em $ y_{10} $ que será $ y(2) $.

Passo 4

Passo 1: $ t_0 = 0 $, $ y_0 = 0,5 $
Calculamos $ f(t_0, y_0) = y_0 - t_0^2 + 1 = 0,5 - 0 + 1 = 1,5 $
Então:
t0 = 0

Passo 5

Passo 2: $ t_1 = 0,2 $, $ y_1 = 0,8 $
Calculamos $ f(t_1, y_1) = y_1 - t_1^2 + 1 = 0,8 - (0,2)^2 + 1 = 0,8 - 0,04 + 1 = 1,76 $
Então:
t1 = 0,2

Passo 6

Passo 3: $ t_2 = 0,4 $, $ y_2 = 1,152 $
Calculamos $ f(t_2, y_2) = y_2 - t_2^2 + 1 = 1,152 - (0,4)^2 + 1 = 1,152 - 0,16 + 1 = 1,992 $
Então:
t2 = 0,4

Passo 7

Passo 4: $ t_3 = 0,6 $, $ y_3 = 1,5504 $
Calculamos $ f(t_3, y_3) = y_3 - t_3^2 + 1 = 1,5504 - (0,6)^2 + 1 = 1,5504 - 0,36 + 1 = 2,1904 $
Então:
t3 = 0,6

Passo 8

Passo 5: $ t_4 = 0,8 $, $ y_4 = 1,98848 $
Calculamos $ f(t_4, y_4) = y_4 - t_4^2 + 1 = 1,98848 - (0,8)^2 + 1 = 1,98848 - 0,64 + 1 = 2,34848 $
Então:
t4 = 0,8

Passo 9

Passo 6: $ t_5 = 1,0 $, $ y_5 = 2,458176 $
Calculamos $ f(t_5, y_5) = y_5 - t_5^2 + 1 = 2,458176 - (1)^2 + 1 = 2,458176 - 1 + 1 = 2,458176 $
Então:
t5 = 1,0

Passo 10

Passo 7: $ t_6 = 1,2 $, $ y_6 = 2,9498112 $
Calculamos $ f(t_6, y_6) = y_6 - t_6^2 + 1 = 2,9498112 - (1,2)^2 + 1 = 2,9498112 - 1,44 + 1 = 2,5098112 $
Então:
t6 = 1,2

Passo 11

Passo 8: $ t_7 = 1,4 $, $ y_7 = 3,45177344 $
Calculamos $ f(t_7, y_7) = y_7 - t_7^2 + 1 = 3,45177344 - (1,4)^2 + 1 = 3,45177344 - 1,96 + 1 = 2,49177344 $
Então:
t7 = 1,4

Passo 12

Passo 9: $ t_8 = 1,6 $, $ y_8 = 3,950128128 $
Calculamos $ f(t_8, y_8) = y_8 - t_8^2 + 1 = 3,950128128 - (1,6)^2 + 1 = 3,950128128 - 2,56 + 1 = 2,390128128 $
Então:
t8 = 1,6

Passo 13

Passo 10: $ t_9 = 1,8 $, $ y_9 = 4,4281537536 $
Calculamos $ f(t_9, y_9) = y_9 - t_9^2 + 1 = 4,4281537536 - (1,8)^2 + 1 = 4,4281537536 - 3,24 + 1 = 2,1881537536 $
Então:
t9 = 1,8

Resposta

Aproximadamente, $ y(2) = 4,8657845 $. Portanto, a resposta correta é a alternativa C $ 4,8657845 $.

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