Mostre que o conjunto
não nem aberto, nem fechado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números racionais
, visto como subconjunto de
com a topologia usual, não é nem aberto nem fechado. Vamos usar as definições de conjunto aberto e de conjunto fechado em
, além do fato de que irracionais e racionais se misturam arbitrariamente em
. Conteúdo necessário: definição de aberto em
(todo ponto tem uma vizinhança inteira contida no conjunto), definição de fechado (contém todos os seus pontos-limite ou seu complementar é aberto) e a propriedade de que em qualquer intervalo real existem tanto números racionais quanto irracionais.
Passo 2
Para mostrar que
não é aberto, tome um ponto qualquer
. Se
fosse aberto, existiria
tal que o intervalo
Mas sabemos que em todo intervalo aberto de
há números irracionais. Logo, qualquer intervalo centrado em
contém algum irracional, o que impede que ele fique inteiramente dentro de
. Isso prova que
não satisfaz a definição de conjunto aberto.
Passo 3
Para mostrar que
não é fechado, usamos a caracterização por pontos-limite. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite. Porém, qualquer número irracional
pode ser aproximado arbitrariamente bem por uma sequência de racionais. Por exemplo, existe
com
. Assim,
é ponto-limite de
, mas
. Portanto,
não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.
Resposta
O conjunto
não é nem aberto nem fechado em
.