Mostre que o conjunto Q não nem aberto, nem fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos números racionais Q, visto como subconjunto de R com a topologia usual, não é nem aberto nem fechado. Vamos usar as definições de conjunto aberto e de conjunto fechado em R, além do fato de que irracionais e racionais se misturam arbitrariamente em R. Conteúdo necessário: definição de aberto em R (todo ponto tem uma vizinhança inteira contida no conjunto), definição de fechado (contém todos os seus pontos-limite ou seu complementar é aberto) e a propriedade de que em qualquer intervalo real existem tanto números racionais quanto irracionais.

Passo 2

Para mostrar que Q não é aberto, tome um ponto qualquer qinQ. Se Q fosse aberto, existiria varepsilon>0 tal que o intervalo
(q-varepsilon,,q+varepsilon)subseteqQ
Mas sabemos que em todo intervalo aberto de R há números irracionais. Logo, qualquer intervalo centrado em q contém algum irracional, o que impede que ele fique inteiramente dentro de Q. Isso prova que Q não satisfaz a definição de conjunto aberto.

Passo 3

Para mostrar que Q não é fechado, usamos a caracterização por pontos-limite. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite. Porém, qualquer número irracional xnotinQ pode ser aproximado arbitrariamente bem por uma sequência de racionais. Por exemplo, existe (qn)subsetQ com qnto x. Assim, x é ponto-limite de Q, mas xnotinQ. Portanto, Q não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.

Resposta

O conjunto Q não é nem aberto nem fechado em R.

Exercícios relacionados