Mostre que o conjunto Z é fechado.

Passo 1

Queremos mostrar que o conjunto dos inteiros Z é um conjunto fechado no espaço R com a topologia usual. Para isso, vamos usar a definição de conjunto fechado e a noção de complemento aberto.

Passo 2

Na topologia usual de R, um conjunto F é fechado se, e somente se, seu complementar Rsetminus F for aberto. E um conjunto UsubsetR é aberto se, para todo ponto xin U, existe varepsilon>0 tal que o intervalo (x-varepsilon,,x+varepsilon) está contido em U.

Passo 3

Seja xinRsetminusZ. Isso significa que x não é inteiro. Como os inteiros são pontos isolados na reta, existe um único ninZ tal que
< x < n+1
Definimos em seguida
varepsilon = minx - n,,(n+1) - x,
que é um número positivo. Então o intervalo
(x - varepsilon,; x + varepsilon)
não contém nenhum número inteiro, ou seja,
(x - varepsilon,; x + varepsilon) subset Rsetminus Z

Passo 4

Isso mostra que cada ponto de RsetminusZ tem uma vizinhança aberta contida no complementar de Z. Logo RsetminusZ é aberto e, por definição, Z é fechado.

Resposta

Como o complementar de Z é aberto, concluímos que Z é fechado em R.

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