Mostre que o conjunto
é fechado.
Passo 1
Queremos mostrar que o conjunto dos inteiros
é um conjunto fechado no espaço
com a topologia usual. Para isso, vamos usar a definição de conjunto fechado e a noção de complemento aberto.
Passo 2
Na topologia usual de
, um conjunto
é fechado se, e somente se, seu complementar
for aberto. E um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que o intervalo
está contido em
.
Passo 3
Seja
. Isso significa que
não é inteiro. Como os inteiros são pontos isolados na reta, existe um único
tal que
Definimos em seguida
que é um número positivo. Então o intervalo
não contém nenhum número inteiro, ou seja,
Passo 4
Isso mostra que cada ponto de
tem uma vizinhança aberta contida no complementar de
. Logo
é aberto e, por definição,
é fechado.
Resposta
Como o complementar de
é aberto, concluímos que
é fechado em
.