Mostre que um conjunto é X aberto se, e somente se, o seu complemento R backslash X é fechado.

Passo 1

Temos um conjunto XsubsetR e queremos mostrar que X é aberto se, e somente se, seu complemento Rsetminus X é fechado. Vamos usar as definições: um conjunto X é aberto se para todo xin X existe varepsilon>0 tal que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset X; um conjunto F é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou pontos de acumulação).

Passo 2

Suponha que X seja aberto. Seja a um ponto-limite de Rsetminus X. Para chegar a uma contradição, assuma que ain X. Como X é aberto, existe varepsilon>0 tal que (a-varepsilon,a+varepsilon)subset X. Mas então nenhum ponto desse intervalo pode pertencer a Rsetminus X, o que contradiz o fato de que a é ponto-limite de Rsetminus X. Logo anotin X e assim ainRsetminus X. Concluímos que Rsetminus X contém todos os seus pontos-limite, ou seja, é fechado.

Passo 3

Agora suponha que Rsetminus X seja fechado. Tome um ponto arbitrário xin X. Se não existisse varepsilon>0 tal que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset X, então para cada ninN haveria um ponto yninRsetminus X com |yn-x|<1/n. Isso faria ynto x, tornando x um ponto-limite de Rsetminus X. Como esse conjunto é fechado, teríamos xinRsetminus X, o que contraria xin X. Portanto existe varepsilon>0 tal que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset X, e assim X é aberto.

Resposta

Mostramos que X é aberto se, e somente se, Rsetminus X é fechado.

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