Mostre que um conjunto é
aberto se, e somente se, o seu complemento
é fechado.
Passo 1
Temos um conjunto
e queremos mostrar que
é aberto se, e somente se, seu complemento
é fechado. Vamos usar as definições: um conjunto
é aberto se para todo
existe
tal que
; um conjunto
é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou pontos de acumulação).
Passo 2
Suponha que
seja aberto. Seja
um ponto-limite de
. Para chegar a uma contradição, assuma que
. Como
é aberto, existe
tal que
. Mas então nenhum ponto desse intervalo pode pertencer a
, o que contradiz o fato de que
é ponto-limite de
. Logo
e assim
. Concluímos que
contém todos os seus pontos-limite, ou seja, é fechado.
Passo 3
Agora suponha que
seja fechado. Tome um ponto arbitrário
. Se não existisse
tal que
, então para cada
haveria um ponto
com
. Isso faria
, tornando
um ponto-limite de
. Como esse conjunto é fechado, teríamos
, o que contraria
. Portanto existe
tal que
, e assim
é aberto.
Resposta
Mostramos que
é aberto se, e somente se,
é fechado.