Mostre que o intervalo (0,1] não é um conjunto aberto, nem um conjunto fechado.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que o exercício pede: estamos em ℝ e queremos usar a definição de conjunto aberto e de conjunto fechado para analisar o intervalo (0,1]. Para isso, vamos lembrar o que cada definição diz e aplicar aos pontos críticos desse intervalo.

Passo 2

Para ver que (0,1] não é aberto, escolhemos o ponto extremo 1 que pertence ao conjunto. Um conjunto Asubsetℝ é aberto se, para todo xin A, existe ε>0 tal que (x-ε,x+ε)subset A. No caso x=1, qualquer ε>0 faz com que o intervalo (1-ε,1+ε) contenha pontos maiores que 1, mas (0,1] não inclui números acima de 1. Logo não existe nenhum ε>0 que mantenha (1-ε,1+ε) dentro de (0,1], mostrando que 1 não é ponto interior e portanto (0,1] não é aberto.

Passo 3

Para ver que (0,1] não é fechado, lembramos que um conjunto A é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou equivalentemente, se seu complementar é aberto). O ponto 0 é ponto de acumulação de (0,1], pois qualquer vizinhança de 0 intercepta (0,1]. Mas 0notin(0,1]. Logo (0,1] não contém esse ponto de acumulação e, portanto, não é fechado.

Resposta

O intervalo (0,1] não é nem aberto nem fechado.

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