Mostre que o intervalo
não é um conjunto aberto, nem um conjunto fechado.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que o exercício pede: estamos em ℝ e queremos usar a definição de conjunto aberto e de conjunto fechado para analisar o intervalo
. Para isso, vamos lembrar o que cada definição diz e aplicar aos pontos críticos desse intervalo.
Passo 2
Para ver que
não é aberto, escolhemos o ponto extremo
que pertence ao conjunto. Um conjunto
é aberto se, para todo
, existe
tal que
. No caso
, qualquer
faz com que o intervalo
contenha pontos maiores que
, mas
não inclui números acima de
. Logo não existe nenhum
que mantenha
dentro de
, mostrando que
não é ponto interior e portanto
não é aberto.
Passo 3
Para ver que
não é fechado, lembramos que um conjunto
é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou equivalentemente, se seu complementar é aberto). O ponto
é ponto de acumulação de
, pois qualquer vizinhança de
intercepta
. Mas
. Logo
não contém esse ponto de acumulação e, portanto, não é fechado.
Resposta
O intervalo
não é nem aberto nem fechado.