Mostre que o intervalo
não é um conjunto aberto, nem um conjunto fechado. Mostre com cálculos
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o intervalo
não é um conjunto aberto nem um conjunto fechado. Para resolver isso, vamos lembrar o que são conjuntos abertos e fechados na matemática, especificamente na análise real, e depois usar essas definições para verificar o intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto aberto. Na matemática, um conjunto
em
(números reais) é aberto se, para qualquer ponto
em
, existe um “pedaço” ao redor de
que ainda está dentro de
. Esse “pedaço” é chamado de vizinhança de
e geralmente é representado por um intervalo
, onde
é um número positivo pequeno.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é aberto. Pegue um ponto no intervalo, por exemplo,
. Se
fosse aberto, deveria existir um
tal que o intervalo
estaria totalmente dentro de
.
Mas olha só: se escolhermos qualquer
,
vai incluir números maiores que 1, que não estão em
. Por exemplo, com
, teríamos
, e o número 1.1 não pertence a
. Isso mostra que não podemos encontrar uma vizinhança de 1 que esteja totalmente dentro de
.
Passo 4
Como não conseguimos encontrar uma vizinhança para o ponto 1 que esteja dentro de
, isso significa que
não é um conjunto aberto.
Passo 5
Agora, vamos ver se
é fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Um ponto de limite é um número para o qual existe uma sequência de pontos dentro do conjunto que converge para ele.
No caso de
, vamos analisar o ponto 0. Embora 0 não esteja no intervalo, podemos considerar uma sequência como
, onde
é um número natural grande. À medida que
aumenta,
se aproxima de 0. Isso significa que 0 é um ponto de limite de
.
Passo 6
Mas, como vimos, 0 não está incluído em
. Então,
não contém todos os seus pontos de limite, o que significa que
não é um conjunto fechado.
Resposta
Portanto, o intervalo
não é aberto porque não contém uma vizinhança ao redor de 1 dentro do próprio intervalo, e não é fechado porque não inclui o ponto de limite 0. Assim,
não é nem aberto nem fechado.