Mostre que o intervalo (0,1] não é um conjunto aberto, nem um conjunto fechado. Mostre com cálculos

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o intervalo (0,1] não é um conjunto aberto nem um conjunto fechado. Para resolver isso, vamos lembrar o que são conjuntos abertos e fechados na matemática, especificamente na análise real, e depois usar essas definições para verificar o intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto aberto. Na matemática, um conjunto U em R (números reais) é aberto se, para qualquer ponto x em U, existe um “pedaço” ao redor de x que ainda está dentro de U. Esse “pedaço” é chamado de vizinhança de x e geralmente é representado por um intervalo (x - epsilon, x + epsilon), onde epsilon é um número positivo pequeno.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (0,1] é aberto. Pegue um ponto no intervalo, por exemplo, x = 1. Se (0,1] fosse aberto, deveria existir um epsilon > 0 tal que o intervalo (1 - epsilon, 1 + epsilon) estaria totalmente dentro de (0,1].
Mas olha só: se escolhermos qualquer epsilon > 0, (1 - epsilon, 1 + epsilon) vai incluir números maiores que 1, que não estão em (0,1]. Por exemplo, com epsilon = 0.1, teríamos (0.9, 1.1), e o número 1.1 não pertence a (0,1]. Isso mostra que não podemos encontrar uma vizinhança de 1 que esteja totalmente dentro de (0,1].

Passo 4

Como não conseguimos encontrar uma vizinhança para o ponto 1 que esteja dentro de (0,1], isso significa que (0,1] não é um conjunto aberto.

Passo 5

Agora, vamos ver se (0,1] é fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Um ponto de limite é um número para o qual existe uma sequência de pontos dentro do conjunto que converge para ele.
No caso de (0,1], vamos analisar o ponto 0. Embora 0 não esteja no intervalo, podemos considerar uma sequência como xn = 1n, onde n é um número natural grande. À medida que n aumenta, xn se aproxima de 0. Isso significa que 0 é um ponto de limite de (0,1].

Passo 6

Mas, como vimos, 0 não está incluído em (0,1]. Então, (0,1] não contém todos os seus pontos de limite, o que significa que (0,1] não é um conjunto fechado.

Resposta

Portanto, o intervalo (0,1] não é aberto porque não contém uma vizinhança ao redor de 1 dentro do próprio intervalo, e não é fechado porque não inclui o ponto de limite 0. Assim, (0,1] não é nem aberto nem fechado.

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